2021北京科技大學高等代數I研究生考試大綱 正文

《高等代數I》考試大綱
一、 考試性質與范圍
高等代數是高等學校數學專業的基礎課之一，主要研究線性空間的理論，也兼顧一部分多項式和代數基本知識，考試內容主要包括矩陣、行列式和線性空間等相關理論。要求學生對相關的概念把握清楚，在此基礎上展開對相關理論和問題的分析處理。
二、測試考生對于高等代數相關基本概念、基礎理論的掌握和運用能力。
三、考試方式與分值
1. 試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。
2. 答題方式為閉卷、筆試。不允許使用計算器。
四．考試內容
1.集合及運算，等價關系，映射、數域；
2. 多項式
帶余除法，整除性，最大公因式的定義、性質、算法，多項式的唯一分解定理，重因式及其判斷方法、不可約多項式及性質，余式定理及其應用，代數學基本定理，復系數、實系數多項式在相應數域中的分解形式，根與系數的關系定理，本原多項式，Gauss引理，Eisenstein判別法.
3．矩陣 
矩陣的基本運算，矩陣的初等變換，矩陣的相抵和標準形、矩陣的逆及其計算，矩陣的分塊運算，矩陣的秩和秩的基本性質.
4. 線性空間 
線性空間的概念及重要的線性空間實例，向量的線性相關、線性無關，基、維數的概念、坐標變換和過渡矩陣，線性子空間的條件，子空間的和與交和直和的等價條件，線性空間的同構
5.線性變換
線性映射的定義及矩陣表示，線性映射的像與核，基和維數的關系，線性變換的定義及矩陣表示，線性變換的運算，不變子空間的定義及相關結論，線性變換的特征值與特征向量的定義與性質，矩陣對角化.
6． 歐氏空間 
內積，度量矩陣、標準正交基，正交化和正交子空間，正交變換，對稱變換
7． 二次型 
二次型，二次型的標準形，正定二次型及半正定等充要條件.
8． 線性方程組 
 Gauss消元法、線性方程組的解的結構及求解方法.
9． 行列式 
逆序，行列式性質與計算，Crame法則.
10． 相似標準形 
特征值與特征向量的計算，對稱矩陣的標準形的計算，特征多項式與最小多項式，矩陣對角化的條件，Jordan標準形，λ-矩陣，初等因子，不變因子
 
 
五、教材與參考書
教材
1. 申亞男、李為東編著，《高等代數》，機械工業出版社，2015年9月第1版
2．北京大學幾何與代數教研室代數小組編，《高等代數》，高等教育出版社1991，第3版 
參考書
3. 許以超編，《線性代數與矩陣論》，高等教育出版社，1992年，第1版
4. 屠伯塤, 徐誠浩, 王芬編，《高等代數》，上海科技出版社，1987年，第1版
5. 丘維聲編，《高等代數》，高等教育出版社，1996年，第1版
 
 

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