北京科技大學單獨考試數學考試說明及考試 正文

　　一、函數、極限與函數連續性
　　考試內容
　　函數的概念及表示法，函數的主要特性（有界性、單調性、周期性和奇偶性），復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，簡單應用問題中函數關系的建立數列極限、函數極限的定義及其性質，左極限與右極限，無窮小和無窮大的概念及其關系，無窮小的性質及無窮小階的比較，極限的四則運算，復合函數的極限，極限存在的單調有界原理和夾逼準則，兩個重要極限:函數連續的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。

　　考試要求
　　1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。
　　2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。
　　3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數及復合函數的概念。
　　4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。
　　5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。
　　6．掌握極限的性質及四則運算法則。
　　7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
　　8．理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小階的比較方法，會在求極限過程中利用等價無窮小代換。
　　9．理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。
　　10．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理）及其簡單應用。

　　二、一元函數微分學
　　考試內容
　　導數和微分的概念，導數的幾何意義和物理意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線和法線，基本初等函數的導數，導數和微分的四則運算，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數，一階微分形式的不變性。
　　微分中值定理，洛必達（L’Hospital）法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數圖形的描繪，函數最大值和最小值，弧微分。

　　考試要求
　　1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，理解函數的可導性與連續性之間的關系。
　　2．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。
　　3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。
　　4.會求分段函數的一階、二階導數。
　　5．會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。
　　6．理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
　　7．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。
　　8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。
　　9．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

　　三、一元函數積分學
　　考試內容
　　原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上限的函數及其導數，牛頓—萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，簡單有理函數、簡單三角函數有理式和簡單無理函數的積分，定積分的應用。

　　考試要求
　　1．理解原函數概念，理解不定積分和定積分的概念。
　　2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。
　　3．會求簡單有理函數、三角函數有理式及無理函數的積分。
　　4．會求積分上限函數的導數，掌握牛頓—萊布尼茨公式。
　　5．了解廣義積分的概念，會計算簡單的廣義積分。
　　6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體體積、功）。

　　四、向量代數和空間解析幾何
　　考試內容
　　向量的概念，向量的線性運算，向量的數量積和向量積，向量的混合積，兩向量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標表達式及其運算，單位向量，方向數與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程、直線方程，平面與平面、平面與直線、直線與直線的關系以及平行、垂直的條件，點到平面和點到直線的距離，球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程，常見的二次曲面的方程及其圖形，空間曲線的參數方程和一般方程，空間曲線在坐標平面上的投影曲線方程。

　　考試要求
　　1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。
　　2.掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。
　　3.理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。
　　4.掌握平面方程和直線方程的概念及其求法。
　　5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角。
　　6.會求點到直線以及點到平面的距離。
　　7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念。
　　8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。
　　9.了解空間曲線的參數方程和一般方程，了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。

　　五、多元函數微分學
　　考試內容
　　多元函數的概念，二元函數的極限和連續的概念，有界閉區域上二元連續函數的性質，多元函數偏導數和全微分，多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，方向導數和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，二元函數的二階泰勒公式，多元函數的極值和條件極值，多元函數的最大值、最小值及其簡單應用。

　　考試要求
　　1．理解多元函數的概念。
　　2．了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函數的性質。
　　3．理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分。
　　4．理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。
　　5．掌握多元復合函數的一階、二階偏導數的求法。
　　6．了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。
　　7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。
　　8．了解二元函數的二階泰勒公式。
　　9．理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

　　六、多元函數積分學
　　考試內容
　　二重積分、三重積分的概念及性質，二重積分與三重積分的計算和應用，兩類曲線積分的概念、性質及計算，格林（Green）公式，平面曲線積分與路徑無關的條件，已知全微分求原函數，兩類曲面積分的概念、性質及計算，高斯（Gauss）公式，曲線積分和曲面積分的簡單應用。

　　考試要求
　　1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質。
　　2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。
　　3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質。
　　4．掌握計算兩類曲線積分的方法。
　　5．掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分的原函數。
　　6．了解兩類曲面積分的概念、性質，掌握計算兩類曲面積分的方法，會用高斯公式計算曲面積分。
　　7．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、重心、轉動慣量）。

　　七、無窮級數
　　考試內容
　　常數項級數的收斂與發散的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數與p級數以及它們的收斂性，正項級數收斂性的判別法，交錯級數與萊布尼茨定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，函數項級數的收斂域與和函數的概念，冪級數及其收斂半徑、收斂區間和收斂域，冪級數的和函數，冪級數在其收斂區間內的基本性質，簡單冪級數的和函數求法，初等函數冪級數展開式。

　　考試要求
　　1．理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。
　　2．掌握幾何級數與p級數的收斂與發散的條件。
　　3．掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法判定級數的收斂性。
　　4．掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。
　　5.了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。
　　6．了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。
　　7．理解冪級數的收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法。
　　8．了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質（和函數的連續性、逐項微分和逐項積分），會求冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。
　　9．了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。
　　10．掌握常用函數的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。

　　八、常微分方程
　　考試內容
　　常微分方程的基本概念，可分離變量的方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，伯努利（Bernoulli）方程，全微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，簡單的二階常系數非齊次線性微分方程，微分方程的簡單應用。

　　考試要求
　　1．了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。
　　2．掌握可分離變量的方程及一階線性方程的解法。
　　3．會解齊次方程、伯努利方程和全微分方程。
　　4．理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。
　　5．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。
　　6．會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。
　　7．會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

　　（實習編輯：郭靜）

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