2021長安大學609數學分析研究生考試大綱 正文

609數學分析考試內容范圍
 
1． 實數集與函數：實數及其性質，絕對值與不等式，區間與鄰域，有界集與確界原理，函數的定義、表示及四則運算，復合函數，反函數，初等函數，有界函數，單調函數，奇函數和偶函數，周期函數；
2． 數列的極限：函數的極限的概念、性質和存在的條件；
3． 函數的極限：函數的極限的概念、性質和存在的條件，兩個重要極限，無窮大量與無窮小量的概念、階的比較，曲線的漸近線；
4． 函數的連續性：函數的連續性的概念、性質，初等函數的連續性；
5． 導數和微分：導數的概念，求導法則，參變量函數的導數，高階導數，微分的概念、運算法則，高階微分，微分在近似計算中的應用；
6． 微分中值定理及其應用：拉格朗日中值定理和函數的單調性，柯西中值定理和不定式極限，帶有佩亞諾余項的泰勒公式、帶有拉格朗日型余項的泰勒公式及在近似計算中的應用，函數的極值與最值，函數的凸性與拐點，函數的圖象；
7． 實數的完備性：區間套定理與柯西收斂準則，聚點定理與有限覆蓋定理，閉區間上連續函數性質的證明；
8． 不定積分：不定積分的概念與基本積分公式，不定積分換元積分法與分步積分法，有理函數的不定積分，三角函數有理式的不定積分，某些無理根式的不定積分；
9． 定積分：定積分的概念，牛頓——萊布尼茲公式，可積的條件，定積分的的基本性質，積分中值定理，變限積分與原函數的存在性，定積分的換元積分法與分步積分法，泰勒公式的積分型余項；
10. 定積分的應用：平面圖形的面積，由平行截面面積求體積，平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面的面積，液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算；
11．反常積分：反常積分的概念，無窮積分的性質與收斂判別，瑕積分的性質與收斂判別；
12．數項級數：級數的收斂性，正項級數收斂性的一般判別原則，比式判別法、根式判別法和積分判別法，交錯級數，絕對收斂級數及性質，阿貝爾判別法和狄利克雷判別法；
13．函數列與函數項級數：函數列及其一致收斂性，函數項級數及其一致收斂性，函數項級數一致收斂性判別法，一致收斂性函數列與函數項級數的性質；
14．冪級數：冪級數的收斂區間、性質及運算，泰勒級數，初等函數的冪級數展開式；
15．傅立葉級數：三角級數，正交函數系，以2為周期的傅立葉級數，以2為周期的傅立葉級數，奇函數和偶函數的傅立葉級數，收斂定理及證明；
16．多元函數的極限與連續：平面點集，R²上的完備性定理，二元函數，n元函數，二元函數的極限，累次極限，二元函數的連續性概念，有界閉域上連續函數的性質；
17．多元函數微分學：可微性與全微分，偏導數，可微性的條件、幾何意義及應用，復合函數的求導法則，復合函數的全微分，方向導數與梯度，高階偏導數，中值定理與泰勒公式，極值問題；
18．隱函數定理及其應用：隱函數的概念、存在條件，隱函數定理，隱函數求導，隱函數組的概念，隱函數組定理，反函數組與坐標變換，平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，條件極值；
19．含參量積分：含參量正常積分，含參量反常積分的一致收斂性及其判別法，含參量反常積分的性質，歐拉積分；
20．曲線積分：第一型曲線積分的定義與計算，第二型曲線積分的定義與計算；兩類曲線積分的聯系；
21．重積分：二重積分的定義、存在性及性質，直角坐標系下二重積分的計算，格林公式，曲線積分與路線無關性，二重積分的變量變換公式，極坐標系下二重積分的計算，三重積分的概念，化三重積分為累次積分，三重積分換元法，曲面的面積、重心、轉動慣量及引力的計算；
22．曲面積分：第一型曲面積分的定義與計算，第二型曲面積分的定義與計算；兩類曲面積分的聯系，高斯公式與斯托克斯公式。
 
本課程參考教材：《數學分析》（第三版）（上、下冊），華東師范大學數學系編。

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