2021大連海事大學數學分析專業研究生考試大綱 正文

考試科目：數學分析
試卷滿分及考試時間：試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
 
考試內容 
一、分析基礎
(1) 實數概念、確界
(2) 函數概念
(3) 序列極限與函數極限
(4) 無窮大與無窮小
(5) 連續概念及基本性質，一致連續性
(6) 收斂原理
 
二、一元微分學
(1) 導數概念及幾何意義
(2) 求導公式求導法則
(3) 高階導數
(4) 微分
(5) 微分中值定理
(6) L’Hospital法則
(7) Taylor公式
(8) 應用導數研究函數
 
三、一元積分學
(1) 不定積分法與可積函數類
(2) 定積分的概念、性質與計算
(3) 定積分的應用
(4) 廣義積分
 
四、級數
(1) 數項級數的斂散判別與性質
(2) 函數項級數與一致收斂性
(3) 冪級數
(4) Fourier級數
 
五、多元微分學
(1) 歐氏空間
(2) 多元函數的極限
(3) 多元連續函數
(4) 偏導數與微分
(5) 隱函數定理
(6) Taylor公式
(7) 多元微分學的幾何應用
(8) 多元函數的極值
 
六、多元積分學
(1) 重積分的概念與性質
(2) 重積分的計算
(3) 二重、三重廣義積分
(4) 含參變量的正常積分和廣義積分
(5) 曲線積分與Green公式
(6) 曲面積分
(7) Gauss公式、Stokes公式及線積分與路徑無關
(8) 場論初步
 
基本要求
一、分析基礎
(1) 了解實數公理，理解上確界和下確界的意義。掌握絕對值不等式及平 均值不等式。
(2) 熟練掌握函數概念（如定義域、值域、反函數等）。
(3) 掌握序列極限的意義、性質（特別，單調序列的極限存在性定理）和運算法則，熟練掌握求序列極限的方法。
(4) 掌握函數極限的意義、性質和運算法則（自變量趨于有限數和趨于無限兩種情形），熟練掌握求函數極限的方法，了解廣義極限和單側極限的意義。
(5) 熟練掌握求序列極限和函數極限的常用方法（如初等變形、變量代換、兩邊夾法則和兩個重要極限）求極限的基本技巧，以及應用Stokes公式求序列極限的方法。
(6) 理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高（低）階無窮大（小）量的意義，熟練使用等價無窮小替換求極限。
(7) 熟練掌握函數在一點及在一個區間上連續的概念，理解函數兩類間斷點的意義，掌握初等函數的連續性，理解區間套定理和介值定理。理解一致連續和不一致連續的概念。
(9) 掌握序列收斂的充分必要條件及函數極限（當自變量趨于有限數及趨于無窮兩種情形）存在的充分必要條件。
 
二、一元微分學
(1) 掌握導數的概念和幾何及物理意義，了解單側導數的意義，并能用定義求函數在給定點的導數。
(2) 應用求導公式和法則熟練計算函數導數，包含由參數式方程給出的函數的導數、隱函數的導數以及函數的高階導數。
(3) 理解函數微分的概念和函數可微的充分必要條件，了解一階微分形式的不變性，能利用微分作近似計算。
(4) 理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理），并能應用它們解決函數零點存在性及不等式證明等問題。
(5) 熟練掌握應用L’Hospital法則求函數極限的方法。
(6) 理解Taylor公式（Lagrange余項和Peano余項）的意義，并熟記五個基本公式（在x=0點的帶有Peano余項的Taylor公式），能將給定函數在指定點展成Taylor級數，掌握應用Taylor公式解決不等式證明、求函數極限等問題的基本技巧。
(7) 熟練掌握應用導數判斷函數升降、凹凸性以及畫出函數圖像的方法，以及求一元函數極值和最值的方法。
 
三、一元積分學
(1)  理解不定積分概念和基本性質，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，解應用他們熟練計算不復雜的不定積分。
(2) 了解可積分函數類的意義及其積分法，熟練掌握有理函數、三角函數有理式及簡單的根式的有理式的積分方法。
(3) 理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質及函數在有限區間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計算方法。了解變限定積分的性質，掌握積分中值定理。
(4) 熟練應用定積分計算平面曲線弧長、平面圖形面積、立體體積、旋轉曲面表面積，并解應用于求均勻平面圖形重心坐標等簡單物理、力學問題。
(5) 理解廣義積分及其收斂、絕對收斂和發散的意義，掌握廣義積分收斂的判定法則。
 
四、級數
(1) 掌握數項級數收斂、發散和絕對收斂的概念、級數收斂的充分必要條件（Cauchy準則），收斂和絕對收斂級數的性質。
(2) 熟練掌握正項級數斂散判別法（比較判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法），掌握一般項級數斂散判別方法。能計算一些特殊數項級數的和。
(3) 理解函數項級數收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數序列一致收斂以及函數項級數一致收斂的意義，掌握函數項級數一致收斂的判別法則（包含Cauchy準則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法等）及一致收斂級數的性質。
(4) 理解冪級數的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級數的基本性質和運算法則，熟記五個基本冪級數展開式。能求出給定函數在指定點的冪級數展開式及應用冪級數運算求一些級數的和。
(5) 理解函數Fourier展開式的意義，掌握求Fourier展開式的基本方法。了解Fourier級數的收斂性定理、逐項積分和逐項求導定理以及Parseval等式，并能應用Fourier級數求某些級數的和。
 
五、多元微分學
(1) 理解平面點集的若干概念。
(2) 理解多元函數的概念。掌握二元函數的二重極限、累次極限的意義，并能根據定義計算二元函數極限，或證明二重極限不存在，能計算二元函數的二重極限和累次極限。
(3) 理解多元連續函數的概念，掌握其性質，并能判斷多元函數的連續性。了解多元函數的一致連續性。
(4) 理解偏導數的概念，掌握其計算法則，能熟練計算函數的偏導數和復合函數的導函數，能計算函數在給定方向上的導函數。
(5) 理解多元函數的微分的概念，并能判斷函數的可微性。
(6) 理解隱函數存在定理和反函數存在定理，熟練掌握隱函數的微分法。
(7) 理解Taylor公式的意義，并能求出二元函數的具有指定階數的Taylor公式。
(8)  能應用偏導數求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。
(9) 理解多元函數的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌握求多元函數極值、條件極值及在閉區域上的最值的方法，并用于解決實際問題。
 
六、多元積分學
(1) 理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質。
(2) 掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法（特別，平面極坐標變換，空間柱坐標和球坐標變換），能熟練計算二重和三重積分，并用于計算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。應用重積分求曲面面積，轉動慣量，重心坐標等。
(3)  了解含參變量的正常積分的基本性質（連續性，積分號下取極限、求導和求積分），了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質（連續性，積分號下取極限、求導及求積分），掌握其一致收斂判別法，了解Beta和Gamma函數。 
(4) 理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質、實際背景及二者的聯系，能熟練計算曲線積分。 
(5) 理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質、實際背景及二者的聯系，能熟練計算曲面積分。    
(6) 理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積分或曲線積分的計算。了解空間曲線積分與路徑無關的充分必要條件及其對曲線積分計算的應用。   
(7) 了解場的概念和保守場的意義，能計算場的梯度、散度和旋度。
 
參考書目 
1．課程教材：《數學分析》（第四版），華東師范大學編，高等教育出版社，2010年。
2．參考資料：滕興虎等編，《數學分析全程學習指導與習題精解》，東南大學出版社，2013年。

大連海事大學

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