2021東北電力大學921數學分析研究生考試大綱 正文

初試科目考試大綱
 
“數學分析”考試大綱
一、考試的學科范圍
數學分析課程教學（大綱）基本要求的所有內容。
二、評價目標
主要考查考生對數學分析課程的基礎理論、基本知識掌握和運用的情況，要求考生應掌握以下有關知識：
1. 掌握函數的表示法，會建立簡單應用問題的函數關系式；掌握函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；掌握復合函數及分段函數的概念、反函數的概念及其應用；掌握基本初等函數的性質及其圖形，掌握初等函數的概念。
2. 理解并掌握數列（函數）極限的定義；掌握利用定義來描述極限問題并利用定義證明極限的一些基本方法；熟悉極限唯一性，有界性，保號性的敘述和證明并利用它們證明有關極限命題，了解歸結原則的內容；熟悉運用定義，四則運算、極限存在的判別方法、兩個重要極限及柯西準則，判別極限的存在性；熟悉數列與子數列間的關系；熟練掌握計算數列（函數）極限的基本方法；了解無窮小量與無窮大量，無窮小量階的比較，熟悉等價無窮小；會求曲線的漸近線。
3. 掌握連續函數的概念及定義，掌握間斷點的分類及其判定；掌握連續函數的局部性質；掌握閉區間上連續函數的性質及其應用；掌握初等函數的連續性，掌握一致連續的概念。
4. 熟練掌握求導法則與基本求導公式；熟練掌握求函數的導數，特別是復合函數的導數；熟悉導數的幾何意義，會求函數的微分、高階導數；熟悉函數在一點連續，可導與可微之間的關系；了解微分的幾何意義，近似計算。
5. 熟悉導數的兩個重要定理；了解幾個簡單函數的泰勒展式；熟練掌握利用羅比塔法則求不定式的極限；熟悉利用導數研究函數的單調性，極值，最值，凹凸性，拐點；了解函數作圖的基本方法。
6. 掌握實數連續性的幾個基本定理的內容，了解應用定理證明問題的方法步驟。
7. 熟悉原函數與不定積分的概念；熟練掌握線性運算法則，換元積分法與分部積分法；熟悉有理函數、三角函數有理式及其某些無理根式的不定積分。
8. 熟悉定積分的概念；了解上和與下和的概念，熟悉可積準則，可積的必要條件，可積的充要條件；熟悉可積函數類；掌握可變上限定積分的性質，積分中值定理；熟練掌握線性性質、換元積分法、分部積分法，利用牛萊公式計算定積分。
9. 熟悉定積分的幾何應用；了解定積分在物理上的應用；熟悉“微元法”。
10. 會討論反常積分的斂散性及絕對收斂與條件收斂性；熟悉收斂的反常積分的計算。
11. 熟悉數項級數的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念及其收斂級數的基本性質；熟練掌握正項級數斂散性的判別法；掌握交錯級數與萊布尼茲判別法；掌握幾何級數與P級數的斂散性；熟悉絕對收斂與條件收斂的概念與判定；掌握阿貝耳判別法與狄利克雷判別法。
12. 理解并掌握函數列與函數項級數一致收斂的概念；熟悉函數列一致收斂的充要條件定理；掌握函數項級數一致收斂的維爾斯特拉斯優級數判別法；熟悉函數列與函數項級數和函數的分析性質及其證明，并會應用；熟悉一致收斂柯西準則，阿貝耳判別法與狄利克雷判別法。
13. 會求冪級數的收斂半徑、收斂域、和函數；了解泰勒定理的內容，冪級數的性質與運算；熟悉幾個初等函數的冪級數展開式并會間接求某些函數的泰勒展開式。
14. 熟悉三角函數的正交性與函數的傅里葉級數的概念；熟悉收斂定理的內容，了解收斂定理的證明；會求某些函數的傅里葉級數展開式。
15. 熟悉多元函數、多元函數的極限、累次極限與連續性等概念，會求二重極限、累次極限，會討論函數的連續性；了解閉區域套定理，聚點定理，有限覆蓋定理以及多元連續函數的性質；了解論證多元函數問題的方法----化一法。
16. 掌握多元函數偏導數、全微分、高階偏導數、方向導數的概念與計算；熟悉可微、偏導數、連續三者間的關系；理解并掌握兩個不同的中值定理間的區別與聯系；了解泰勒定理，會求二元函數的極值。
17. 熟悉隱函數（組）概念與隱函數（組）的定理，掌握隱函數（組）求導方法；熟悉平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面方程、曲面的切平面與法線方程的求法；熟悉一元隱函數的極值、多元函數的條件極值的求法。
18. 掌握含參量非正常積分一致收斂的定義、判別法；了解含參量非正常積分的性質；了解歐拉積分。
19. 了解兩類曲線積分的概念、性質；了解兩類曲線積分的關系；掌握兩類曲線積分的計算。
20. 熟悉二重積分與三重積分的概念、性質；掌握二重積分與三重積分的計算、格林公式，曲線積分與路線無關的條件；了解二重積分與三重積分的簡單應用。
21. 了解第一型曲面積分的概念，特別是第二型曲面積分的概念；掌握第一型曲面積分的計算，第二型曲面積分的計算；掌握高斯公式與斯托克斯公式；了解兩類曲面積分間的關系。
三、試題主要類型
1. 答題時間：180分鐘
2. 數學分析試題類型：計算題、證明題
四、考查要點
（一）數列極限
1. 數列極限的概念；
2. 收斂數列的性質；
3. 數列極限存在的條件。
（二）函數極限
1. 函數極限的概念；
2. 函數極限的性質；
3. 函數極限存在的條件；
4. 兩個重要極限；
5. 無窮大量與無窮小量；
6. 多元函數極限。
（三）函數的連續性
1. 一元函數連續性概念；
2. 一元函數間斷點及其分類；
3. 一元函數連續函數的性質；
4. 多元函數連續性。
（四）一元函數微分學
1. 導數與微分的概念；
2. 求導法則高階導數與微分；
3. 微分中值定理及其應用。
（五）多元函數微分學
1. 偏導數與全微分；
2. 復合函數微分法；
3. 方向導數與梯度；
4.  泰勒公式與極值問題；
5. 隱函數定理及其應用。
（六）一元函數積分學
1. 不定積分的概念與基本積分公式；
2. 換元積分法與分部積分法；
3. 有理函數和可化為有理函數的不定積分；
4. 定積分的概念與計算；
5. 可積條件；
6. 定積分性質；
7. 微積分學基本定理；
8. 定積分的應用；
9. 反常積分概念、反常積分收斂性質及判別；
（七）多元函數積分學
1. 含參量正常積分概念及性質；
2. 含參量反常積分概念及性質；
3. 第一型曲線積分概念與計算；
4. 第二型曲線積分的概念與計算；
5. 二重積分概念、性質及計算；
6. 三重積分概念、性質及計算；
7. 第一型曲面積分概念與計算；
8. 第二型曲面積分的概念與計算；
9. 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的運用。
（八）級數
1. 數項級數收斂性；
2. 函數列與函數項級數一致收斂及其性質；
3. 冪級數及函數的冪級數展開；
4. Fourier級數及周期函數的Fourier展開式。
五、主要參考書目
1. 鄧東皋、尹小玲編，《數學分析簡明教程》(第三版)，北京：高等教育出版社，2002年.
2. 華東師范大學數學系編，《數學分析》（第三版），北京：高等教育出版社，2006年.


“高等代數與空間解析幾何”考試大綱
一、考試的學科范圍
考試范圍包括：高等代數與空間解析幾何兩部分內容。
二、評價目標
主要考查考生對高等代數與空間解析幾何的基礎理論、基本知識掌握和運用的情況，要求考生應掌握以下有關知識：
1. 掌握一元多項式的定義，運算及運算律；理解并掌握多項式的次數及次數定理；理解并掌握多項式的整除概念和性質，掌握帶余除法及其應用；理解最大公因式的存在性，掌握其求法及表示法；掌握多項式的互素概念及性質；掌握不可約多項式的概念、性質及唯一分解定理，了解標準分解式及應用；理解多項式導數的定義，求法及重因式概念，掌握多項式有無重因式的判別法；掌握多項式函數概念及余式定理，理解兩個多項式相等與多項式函數相等的區別和關系。
2. 掌握排列、反序、反序數、對換等概念，理解一個對換改變排列的奇偶性；理解行列式的定義，掌握行列式的性質，并會計算行列式；掌握余子式和代數余子式的定義，掌握行列式依行（列）展開定理的證明及應用，進而總結出行列式的計算方法；掌握Vandermonde行列式的計算及應用；理解Cramer規則及應用。
3. 掌握線性方程組的一些基本概念，如：線性方程組及其解集合，方程組的同解，線性方程組的初等變換，一般解、基礎解系等，線性方程組的系數矩陣、增廣矩陣等；掌握數域P上的n維向量空間、向量線性相關性及矩陣的秩的概念，如：數域P上的n維向量的定義和運算，數域P上的n維向量空間的定義，向量組的線性組合，向量經向量組線性表出，向量組經向量組線性表出，向量組的等價，向量組的線性相關、線性無關，極大線性無關組，向量組的秩，矩陣的k-級子式，矩陣的行秩、列秩和秩等；掌握解線性方程組的Gauss消元法；掌握數域上n維向量空間中向量的線性相關性的基本結果和方法；掌握矩陣的秩和它的行秩、列秩以及它的不為零的子式的級數之間的關系；掌握線性方程組有解判定定理和線性方程組解的結構定理，掌握齊次線性組的基礎解系和一般線性方程組的全部解的計算方法。
4. 理解線性方程組的消元解法與系數矩陣的初等變換的關系；熟練運用矩陣的初等變換解線性方程組；理解并掌握矩陣秩的概念，學會用矩陣的初等變換求矩陣秩的方法；掌握線性方程組有解的判定定理及應用；掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；掌握基礎解系概念，會求齊次線性方程組的基礎解系；掌握齊次方程組、非齊次方程組解的結構，會用特解及齊次線性方程組的基礎解系表示非齊次線性方程組的解。
5．掌握二次型的一些基本概念，如：數域上的n元二次型，線性替換，非退化的線性替換，二次型的矩陣，二次型的標準形，復和實二次型的規范形，二次型的正慣性指數，負慣性指數，符號差。矩陣的合同，正定二次型等；掌握用配方法化二次型為標準形，用對二次型的矩陣作變換的方法化二次型為標準形，化復和實二次型為規范形，掌握實二次型的慣性定理和實二次型正定的一些條件。
6．理解和掌握線性空間的定義和基本性質，理解掌握基、維數及坐標的定義和基本性質，基變換與坐標變換的關系，理解掌握線性子空間的定義、性質、基、維數，線性子空間的交與和的性質、基和維數，掌握維數公式及其的理論推導，理解和掌握線性子空間的直和的定義及判定，理解線性空間之間的同構關系。
7．理解和掌握線性變換的定義、基本性質和運算，掌握線性變換的矩陣表示、理論推導和線性變換在不同基下的關系，理解掌握矩陣相似的定義，并總結出矩陣的相似不變性質，理解掌握特征值理論，掌握矩陣[線性變換]的特征值、特征向量的性質和求解方法，了解特征多項式的系數的意義，理解掌握哈密爾頓-凱萊定理及其理論推導，掌握矩陣可以對角化的幾個充分或必要條件，理解掌握線性變換的值域、核及不變子空間的定義、性質和線性空間的不變子空間直和分解，掌握簡化（線性變換的）矩陣的方法，了解復矩陣的若當標準形理論，掌握最小多項式的定義、性質及其對矩陣的影響。
8. 理解掌握λ-矩陣的標準形理論，熟練計算特征矩陣的不變因子和初等因子，理解掌握矩陣相似以及復矩陣可以對角化的充分或必要條件，了解矩陣若當標準形的理論推導，能夠計算方陣的若當標準形。
9. 理解掌握歐幾里得空間的定義和基本性質，掌握度量矩陣的定義及性質，理解掌握施密特正交化過程，熟練計算標準正交基，理解掌握正交矩陣、正交變換的定義及性質，掌握線性空間的正交分解，理解掌握對稱矩陣的標準形理論，熟練計算對稱矩陣的標準形，了解最小二乘法及酉空間的相關概念和性質，總結歐幾里得空間及酉空間的共性。
10. 理解向量的概念，掌握向量的線性運算及其運算規律，掌握共線向量及共面向量的判定，線段的定比分點，射影及其相關的結論，理解內積定義及其運算規律，內積的應用，向量外積的定義，外積的應用，外積的運算規律，混合積的定義及其幾何意義，掌握三個向量共面的充要條件，雙重外積的運算。
11. 掌握空間直角坐標系的建立，空間點和向量的坐標表示，向量運算的坐標表示，空間解析幾何的兩個基本公式，掌握幾種不同形式的平面方程（點法式，一般式，截距式，三點式），二平面的位置關系，幾種不同形式的直線方程（參數式、標準式、一般式、兩點式）兩直線的位置關系，直線和平面的位置關系，掌握兩條直線共面、異面、相交的充要條件，平面束，點到平面的距離，點到直線的距離，二異面直線間的距離及公垂線方程。
12. 理解曲面與方程的關系，掌握球面方程，空間圓的方程，直圓柱面的方程，直圓錐面的方程，曲線族產生曲面的理論，能夠用曲面族產生曲面理論建立曲面方程、柱面方程、錐面方程、旋轉曲面方程，掌握空間曲線的參數方程，空間曲面的參數方程，球面坐標，柱面坐標，六種二次曲面及其標準方程（橢球面、虛橢球面、雙葉雙曲面、單葉雙曲面、橢圓拋物面和雙葉拋物面），六種二次曲面的形狀及其幾何性質。
13. 理解直線與二次曲線的相關位置，掌握二次曲線的切線，漸近方向，二次曲線的直徑，共扼直徑，二次曲線的中心，主方向，主軸，二次曲線的特征方程與特征根，坐標系的變換（平移變換和旋轉變換），能夠通過坐標變換化簡二次曲線，掌握二次曲線的分類，二次曲線的不變量（平移及旋轉不變量），能夠根據不變量判斷曲線類型，三類曲線的規范方程，空間直角坐標變換，正交條件，掌握直線和一般曲面的位置關系，掌握二次曲面的切平面、法線，切錐面，二次曲面的中心，不變量和規范方程。
三、試題主要類型
1．答題時間：180分鐘。
2．題型：計算題和證明題。
四、考查要點
（一）高等代數
1. 多項式的運算，帶余除法，輾轉相除法，整除，因式分解及唯一性定理，重因式，余數定理，復系數多項式因式分解定理，實系數多項式因式分解定理，有理系數多項式的基本性質，本原多項式及其性質，艾森斯坦因判別法，對稱多項式基本定理；
2. 排列的定義和性質，行列式的定義、性質及計算，行列式[矩陣]的初等行[列]變換與行列式的計算，行列式按照一行[列]展開，代數余子式的性質，范德蒙行列式的性質與計算，克蘭姆法則，拉普拉斯定理和行列式的乘法規則；
3. 高斯消元法，n維向量空間的定義及性質，矩陣的秩、秩的性質及求法，（齊次）線性方程組有（非零）解的判定，線性方程組解的結構及其求解；
4. 矩陣的加、減、乘積、數量乘積等運算以及矩陣轉置，矩陣乘積的行列式和矩陣乘積的秩的性質，伴隨矩陣的定義及性質，可逆矩陣的定義、性質、判定及其逆矩陣的求法，初等矩陣的性質及可逆矩陣的分解，分塊矩陣的運算、初等變換及其應用，廣義逆矩陣的性質及齊次線性方程組解的結構；
5. 二次型的定義及矩陣表示，二次型[對稱矩陣]的標準形及化簡二次型[對稱矩陣]的理論推導，復、實系數二次型的規范形的唯一性及理論推導，（半）正定二次型[矩陣]的定義、性質及判定，矩陣的合同不變性質；
6. 線性空間的定義及基本性質，基、維數及坐標的定義和基本性質，基變換與坐標變換的關系，線性子空間的定義、性質、基、維數，線性子空間的交與和的性質、基和維數，維數公式，線性子空間的直和的定義及判定，線性空間的同構；
7. 線性變換的定義、性質和運算，線性變換的矩陣表示和性質，線性變換[方陣]的特征值理論，線性變換[矩陣]的對角化，線性變換的值域、核及不變子空間的定義、性質和線性空間的直和分解，線性變換[矩陣]的若當標準形、極小多項式介紹；
8. λ-矩陣的標準形理論，行列式因子、不變因子、初等因子的定義、性質及求法，矩陣的特征矩陣的化簡，矩陣相似的充分或必要條件，矩陣的若當標準形理論及其導出結果；
9. 歐幾里得空間的定義和基本性質，度量矩陣的定義及性質，施密特（Schimidt）正交化過程，正交矩陣、正交變換的定義及性質，線性空間的正交分解，對稱矩陣的標準形理論。
（二）空間解析幾何
1. 向量及其線性運算，向量的內積，向量的外積，混合積和雙重外積；
2. 空間直角坐標系及用坐標進行向量運算，平面方程，空間直線方程，平面與直線的有關問題，距離；
3. 曲面與方程，球面、直圓柱面和直圓錐面，曲線族產生的理論  柱面、錐面及旋轉曲面的方程，空間曲線和曲面的參數方程，二次曲面，單葉雙曲面和雙曲拋物面的直紋線；
4. 二次曲線的切線、中心、直徑、漸近線和主軸，二次曲線的化簡和二次曲線的分類，二次曲線的不變量、類型判別及規范方程，空間直角坐標變換，一般二次曲面方程的討論。
五、參考書目
1. 北京大學 主編，高等代數（第四版），北京：高等教育出版社，2013年.
2. 王敬庚 傅若男主編，空間解析幾何（第一版），北京：北京師范大學出版社，2004年.
 

東北電力大學

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