2021年廣西大學數學分析專業研究生考試大綱與參考書目 正文

廣西大學碩士研究生入學考試初試科目。《數學分析》作為全日制碩士研究生入學考試的專業基礎課考試，其目的是考察考生是否具備進行本科生各專業碩士研究生學習所要求的水平。本考試是一種測試應試者綜合運用所學的數學分析的知識的尺度參照性水平考試。要求考生理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。 

筆試、閉卷  

一一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。不得使用帶有公式和文本存儲功能的計算器。
三、試卷內容與題型結構
一元函數微積分 約占 60%，多元函數微積分 約占 25%，無窮級數 約占 20%
有以下三種題型：   填空題或選擇題（20%）、計算題（30%）、綜合題（50%） 

（一）、考試內容
1、極限和函數的連續性
  （1）熟練掌握數列極限與函數極限的概念；理解無窮小量、無窮大量的概念及基本性質。
  （2）掌握極限的性質及四則運算法則，能夠熟練運用迫斂性定理和兩個重要極限。
  （3）熟練掌握：區間套定理，確界存在定理，單調有界原理，聚點定理，有限覆蓋定理，Cauchy收斂準則；并理解其相互關系。
  （4）熟練掌握函數連續性的概念及相關的不連續點類型。能夠熟練地運用函數連續的四則運算與復合運算性質。
（5）熟練掌握閉區間上連續函數的基本性質：有界性定理、最值定理、介值定理，一致連續性。 
（6）熟練掌握實數基本理論和性質，會用實數理論及性質表達和證明相關命題。
2、一元函數微分學
  （1）理解導數和微分的概念及其相互關系，理解導數的幾何意義，理解函數可導性與連續性之間的關系。
  （2）熟練掌握函數導數與微分的運算法則，包括高階導數的運算法則、復合函數求導法則，會求分段函數的導數。
（3）熟練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及
Taylor展式。
  （4）能夠用導數研究函數的單調性、極值，最值和凹凸性。
  （5）掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。
  3、一元函數積分學
  （1）理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，初等函數的積分。
（2）掌握定積分的概念與性質及可積條件與可積函數類。
（3）熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。
  （4）能用定積分計算：平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉體的體積與側面積，平行截面面積已知的立體體積及在物理上的應用。
  （5）理解反常積分的概念。熟練掌握判斷反常積分收斂的比較判別法，Abel判別法和 Dirichlet判別法。
 4、無窮級數
  （1）理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質。
  （2）熟練掌握正項級數斂散的必要條件，比較判別法，比式判別法和根式判別法，積分判別法。
  （3）熟練掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系。熟練掌握交錯級數的判別法。掌握絕對收斂級數的性質。
  （4）熟練掌握函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Cauchy收斂準則， Weierstrass判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法。
  （5）掌握冪級數及其收斂半徑、收斂區間的概念。
  （6）熟練掌握冪級數的性質。能夠將函數展開為冪級數。理解余項公式。
  （7）掌握傅里葉級數的概念與性質，掌握傅里葉級數展開的方法。
  5、多元函數微分學與積分學
  （1）理解多元函數極限與連續性，偏導數和全微分的概念，會求多元函數的偏導數與全微分，方向導數和梯度。
  （2）掌握隱函數存在定理，隱函數和隱函數的求導方法。
  （3）會求多元函數的極值和條件極值，了解偏導數的幾何應用。
  （4）熟練掌握重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分的計算。
  （5）熟練掌握Gauss公式、Green公式及Stoks公式。
  6、含參變量積分
（1）掌握含參變量正常積分、含參變量反常積分和歐拉積分的概念與性質及一致收斂的判別法。
  （2）熟練掌握變上限積分及其性質。
 （二）、考試要求
要求考生基本概念清楚，對定理理解準確，扎實掌握，并對定理能夠靈活運用；而且要求有較強的計算能力，對數學分析的方法能靈活運用。

1．數學分析（上、下冊），華東師大編，（2001年后的任意版本），高等教育出版社。
2．數學分析（第一、二、三冊），伍勝健編，北京大學出版社，2016版。
2. 數學分析解題數學與方法，楊傳林，浙江大學出版社，2008版。

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