2021年廣西大學高等代數專業研究生考試大綱與參考書目 正文

廣西大學碩士研究生入學考試初試科目。《高等代數》作為全日制碩士研究生入學考試的專業基礎課考試，其目的是考察考生是否具備進行本科生各專業碩士研究生學習所要求的水平。本考試是一種測試應試者綜合運用所學的高等代數的知識的尺度參照性水平考試。考試范圍包括高等代數的基本概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決代數問題的能力。 

閉卷、筆試  

（一）試卷滿分及考察內容分數分配
試卷滿分為150分。其中計算30分，簡答30分，證明90分。
（二）試卷題型比例
計算題20%，簡答題20%，證明題60%
行列式、線性方程組與矩陣：30%
（具有度量）線性空間與線性變換（映射） 40%
二次型與多項式環 20%
綜合題 10% 

（考試內容和考試要求
（一）、考試內容
第一章 線性方程組
高斯（Gauss）-若爾當（Jordan）算法，線性方程組的解的情況及其判別準則，數域。
第二章 行列式
n元排列，n階行列式的定義，行列式的性質，行列式按一行（列）展開，克拉默（Cramer）法則，行列式按k行（列）展開。
第三章n 維向量空間k^n
n維向量空間k^n及其子空間，線性相關與線性無關的向量組，極大線性無關組、向量組的秩，向量空間k^n及其子空間的基與維數，矩陣的秩，線性方程組有解的充分必要條件，齊次線性方程組的解集的結構，非齊次線性方程組的解集的結構。
第四章 矩陣的運算
矩陣的運算，特殊矩陣，矩陣乘積的秩與行列式，可逆矩陣，矩陣的分塊，正交矩陣，歐幾里得空間R^n，K^n到K^s的線性映射。
第五章 矩陣的相抵與相似
等價關系與集合的劃分，矩陣的相抵，廣義逆矩陣，矩陣的相似，矩陣的特征值和特征向量，矩陣可對角化的條件，實對稱矩陣的對角化。
第六章 二次型，矩陣的合同
二次型和它的標準形，實二次型的規范形，正定二次型與正定矩陣。
第七章 多項式環
一元多項式環的概念及其通用性質，整除性，帶余除法，最大公因式，不可約多項式，唯一因式分解定理，重因式，多項式的根，復數域上的不可約多項式，實數域上的不可約多項式，有理數域上的不可約多項式，多元多項式環，對稱多項式，模m剩余類環，域，域的特征。
第八章 線性空間
線性空間的結構，子空間及其交與和，子空間的直和，線性空間的同構，商空間。
第九章 線性映射
線性映射及其運算，線性映射的核與象，線性映射的矩陣表示，線性變換的特征值與特征向量，線性變換可對角化的條件，線性變換的不變子空間，Hamilton-Cayley（哈密頓-凱萊）定理，線性變換的最小多項式，冪零變換的結構，線性變換的Jordan標準形，線性函數與對偶空間。
第十章 具有度量的線性空間
雙線性函數，歐幾里得空間，正交補，正交投影，正交變換與對稱變換，酉空間，酉變換，Hermite（埃爾米特）變換，正交空間與辛空間。
（二）、考試要求
要求考生基本概念清楚，對定理理解準確，扎實掌握，并對定理能夠靈活運用；而且要求有較強的計算能力，對高等代數的方法能靈活運用。

1. 丘維聲：高等代數（第三版）上、下冊，高等教育出版社，2015年。
  2. 北京大學數學力學系幾何與代數教研室代數小組：高等代數，高等教育出版社，1984（第6次印刷）。

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