華僑大學碩士研究生招生考試

    初試自命題科目考試大綱

    招生學院：數學科學學院招生專業：數學

    科目名稱：高等代數

    一、考試形式與試卷結構

    （一）試卷滿分值及考試時間

    本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

    （二）答題方式

    答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。

    （三）試卷內容結構

    考試內容主要包括矩陣理論，包含行列式、矩陣的相抵、相似、合同分類(30%)；線性方程組(10%)；線性空間(15%)；線性映射(25%)；多項式(20%)。

    （四）試卷題型結構

    1.計算題（60分），共4-6道；

    2.證明題（90分），共5-7道。

    二、考查目標

    課程考試的目的在于測試考生對于《高等代數》的基本概念、基本知識、基礎方法的掌握情況以及綜合運用（線性）代數技巧研究代數對象的結構和表示的能力。

    三、考查范圍或考試內容概要

    第一部分矩陣理論

    1.矩陣的行列式

    行列式的定義與計算；拉普拉斯（Laplace）定理；范德蒙德行列式

    2.矩陣的運算

    矩陣的乘法的基本性質，包括乘法與跡、轉置、行列式的關系；可逆矩陣的性質與計算

    3.矩陣的相抵分類

    初等變換；矩陣秩的定義及性質；矩陣相抵的充要條件

    4.矩陣的相似分類

    矩陣的特征值與特征向量；相似的不變量（包含行列式因子、不變因子、初等因子組）；特征多項式與極小多項式；矩陣可對角化；正交矩陣與正交相似；斯密特（Schmidt）正交化過程；計算復矩陣的約當（Jordan）標準形

    5.矩陣的合同分類

    二次型的標準形和規范形；實二次型的慣性定理；正定矩陣

    第二部分線性方程組

    1.向量組

    （列）向量的線性關系；向量組的極大線性無關組與秩

    2.線性方程組

    高斯（Gauss）消元法；線性方程組解的結構；克萊姆（Gram）法則

    第三部分線性空間

    1.一般線性空間

    線性空間的公理定義；線性空間的基與維數；線性空間的同構；子空間的維數定理；子空間的直和

    2.具有幾何結構的線性空間

    歐式空間；柯西（Cauchy）不等式；斯密特（Schmidt）正交化與標準正交基

    第四部分線性映射

    1.線性映射與矩陣的關系

    線性映射的基本性質；線性映射在不同基下的（表示）矩陣；雙線性映射的度量矩陣

    2.線性映射的結構

    線性映射的維數定理；線性變換的不變子空間

    3.線性映射與矩陣相似分類的進一步聯系

    Jordan標準形對應的不變子空間分解（根子空間分解和循環子空間分解）；Jordan-Chevalley分解定理

    第五部分多項式

    1.多項式的基本性質

    多項式的度；帶余除法；最大公因式；互素

    2.多項式的結構

    唯一分解定理；重因式與重根；多項式函數

    3.不可約多項式

    代數基本定理；實數域上的不可約多項式；本原多項式的唯一分解定理；艾森斯坦（Eisenstein）判別法；整系數多項式的有理根

    四、參考教材或主要參考書：

    《高等代數》，林亞南編著，高等教育出版社，2013年.

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