2021湖南師范大學高等數學研究生考試大綱 正文

　湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱
考試科目代碼：                    考試科目名稱： 高等數學

一、考試內容及要點
1、函數、極限、連續
（1）函數的概念及表示法
（2） 函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性
（3）復合函數、反函數、分段函數和隱函數、 基本初等函數的性質及其圖形、 初等函數的應用
（4）數列極限與函數極限, 函數的左極限與右極限, 及函數極限存在與左、右極限之間的關系
（5） 極限的性質及四則運算法則、單調有界準則和夾逼準則,求極限的方法
   兩個重要極限 :
               
（6）無窮小、無窮大、無窮小量。
（7） 函數的連續性、左連續、右連續，函數間斷點及其類型
（8） 閉區間上連續函數的性質：有界性、極值、最大值和最小值定理、零點定理和介值定理   

2、一元函數微分學

（1） 導數和微分的概念、 導數的幾何意義和物理意義、函數的可導性與連續性之間的關系、平面曲線的切線和法線。
（2）導數和微分的四則運算、 基本初等函數的導數、　復合函數、反函數、分段函數的求導、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法。
（3）高階導數
（4） 微分中值定理：羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西定理，泰勒(Taylor)定理
（5）洛必達（L’Hospital）法則求極限
（6） 函數單調性的判別、 函數的極值、函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線、函數的最大值與最小值、函數圖形的描繪。　
（7）弧微分、曲率的概念、曲率圓與曲率半徑的計算

3、一元函數積分學
原函數和不定積分的概念　不定積分的基本性質　基本積分公式　定積分的概念和基本性質　定積分中值定理　積分上限的函數及其導數　牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法　有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分　反常（廣義）積分　定積分的應用
考試要求
（1）原函數、不定積分和定積分
（2）不定積分的基本公式、不定積分和定積分的性質及定積分中值定理、換元積分法與分部積分法。
（3）有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分．
（4）包含積分上限的函數的導數，牛頓-萊布尼茨公式．
（5）反常積分的概念及其計算．
（6）應用定積分計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等、以及函數的平均值．
4、向量代數和空間解析幾何
（1）空間直角坐標系、向量的概念及其表示.
（2）向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），兩向量垂直、平行的條件.
（3）單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，用坐標表達式進行向量運算的方法.
（4）平面方程和直線方程及其求法.
（5）平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題.
（6）點到直線以及點到平面的距離.
（7）曲面方程和空間曲線方程
（8）常用二次曲面的方程及其圖形，簡單的柱面和旋轉曲面的方程.
（9）空間曲線的參數方程和一般方程，空間曲線在坐標平面上的投影，投影曲線的方程.
5、多元函數微分學
（1）多元函數的概念、二元函數的幾何意義.
（2）二元函數的極限與連續的概念、以及有界閉區域上連續函數的性質.
（3）多元函數偏導數和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分形式的不變性.
（4）方向導數與梯度及其計算方法.
（5）多元復合函數一階、二階偏導數
（6）隱函數存在定理，多元隱函數的偏導數的求法.
（7）空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線及其求法
（8）二元函數的二階泰勒公式.
（9）多元函數極值和條件極值，多元函數極值存在的必要條件，二元函數極值存在的充分條件，二元函數極值的求法，條件極值的拉格朗日乘數法，簡單多元函數的最大值和最小值.
6、多元函數積分學
（1）二重積分、三重積分的概念，重積分的性質，二重積分的中值定理.
（2）二重積分與三重積分的計算。
（3）兩類曲線積分的概念，兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.
（4）兩類曲線積分的計算方法.
（5）格林公式、平面曲線積分與路徑無關的條件，二元函數全微分的原函數的求法
（6）兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，兩類曲面積分的計算，高斯公式與曲面積分，斯托克斯公式與曲線積分
（7）散度與旋度
（8）重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等

7、常微分方程
（1）微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.
（2）變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．
（3）齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程．
（4）降階法解微分方程：
（5）線性微分方程解的性質及解的結構．
（6）應用微分方程解決一些簡單的問題．

8、線性代數
（1）行列式的性質與計算．
（2）矩陣的概念，單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質．
（3）矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.
（5）逆矩陣的概念，逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣的概念，應用伴隨矩陣求逆矩陣．
（6）矩陣的初等變換，初等矩陣的性質和矩陣等價，矩陣的秩，應用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣．
（7）分塊矩陣及其運算．
（8）向量組線性相關與線性無關，向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法． 
（9）向量組等價，矩陣的秩與其行(列)向量組的秩的關系.
（10）克萊姆法則及其應用．
（11）非齊次線性方程組解的結構及其通解的求法．
（12）應用初等行變換求解線性方程組．
（13）矩陣的特征值、特征向量與矩陣的對角化、轉換矩陣。
9、無窮級數
（1）常數項級數的收斂和發散以及收斂級數的和，級數的基本性質及收斂的必要條件.
（2）幾何級數與級數的收斂與發散的條件.
（3）正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法.
（4）交錯級數的萊布尼茨判別法.
（5）任意項級數絕對收斂與條件收斂、絕對收斂與收斂的關系.
（6）函數項級數的收斂域及和函數.
（7）冪級數收斂半徑、冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域
（8）冪級數在其收斂區間內的基本性質，和函數的連續性、逐項求導和逐項積分，冪級數在收斂區間內的和函數以及數項級數的求和.
（9）函數展開為泰勒級數的充分必要條件.
（10）函數，，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，函數的冪級數展開。

二、參考書目
同濟大學數學系編. 高等數學（第六版）. 高等教育出版社,
彭冨連主編. 高等數學. 湖南師大出版社,
同濟大學數學系編. 線性代數（第五版）. 高等教育出版社, 
四川大學數學系編. 高等數學（第三版）. 高等教育出版社,


 

湖南師范大學

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