2021吉首大學713數學分析研究生考試大綱

發布時間：2020-12-07 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2021吉首大學713數學分析研究生考試大綱正文

吉首大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱

考試科目代碼：713

考試科目名稱：數學分析

一、試卷結構

1) 試卷成績及考試時間

本試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。

2)答題方式：閉卷、筆試

3)試卷內容結構

數學分析

4)題型結構

a: 填空題，10 小題，每小題 5 分，共 50 分

c: 解答題(包括證明題)，10 小題，每小題 10 分，共 100 分

二、考試內容與考試要求

1、極限論

考試內容

①

各種極限的計算；

② 單調有界收斂原理、致密性定理、確界原理、

Cauchy 收斂原理等實數基本理論的靈活應用； ③ 連續函數特別是閉區間上連

續函數性質的運用； ④ 極限定義的熟練掌握等； ⑤用收斂數列性質、單調有

界定理或柯西收斂準則來判斷數列極限的存在性，用歸結原則來判斷函數極限的

存在或不存在.

考試要求

（1）能熟練計算各種極限，包括單變量和多變量情形.

（2）能熟練利用六個實數基本定理尤其是單調有界收斂原理、致密性定理、

確界原理、Cauchy 收斂原理進行各種理論證明．

（3）能熟練掌握單變量連續函數特別是閉區間上連續函數的各種性質，并能

利用這些性質進行計算和證明；掌握多變量連續函數的性質尤其是有界閉域上連

續函數的性質，能利用這些性質進行計算和證明．（4）熟練掌握各種極限的定義，并能用邏輯術語進行理論證明.

2、單變量微分學

考試內容

微分中值定理（包括 Roll 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理等）

的靈活運用（包括單調性討論、極值的求取、凸凹性問題、等式和不等式的證

明等）； ② Talor 公式的靈活運用（包括用 Lagrange 余項形式證不等式、用

Peano 余項形式估計階以及求極限等）；③ 各種形式導數的計算； ④ 導數的

定義和運用等.

考試要求

（1）熟練掌握微分中值定理，包括 Roll 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy

中值定理的條件和結論，能熟練利用這些定理進行理論證明或計算，包括函數單

調性討論、極值的求取、凸凹性問題的討論、等式和不等式的證明等．

（2）熟練掌握 Talor 公式的條件和結論，并能做到靈活運用，尤其是利用

Lagrange 余項形式證不等式、Peano 余項形式估計階以及求極限等.

（3）熟練掌握復合函數導數的計算和高階導數的計算．

（4）熟練掌握導數的定義和性質，能用邏輯語言進行理論證明，熟練掌握

利用導數定義進行證明或計算.

3、單變量積分學

考試內容

各種不定積分和定積分的熟練計算，尤其是計算中的處理技巧；

② 廣義

積分的計算和斂散性判別； ③ 定積分的定義和性質的靈活運用等.

考試要求

（1）熟練計算各種不定積分、定積分，熟練掌握湊微分法、換元法、分部

積分法以及常用的計算技巧，熟練掌握奇偶函數、周期函數的積分特點．

（2）熟練掌握廣義積分的計算，熟練掌握區間無限型、函數無界型廣義積

分的斂散性判別，并能進行理論證明．

（3）熟練掌握定積分的定義，能利用定積分的定義進行極限的計算，熟練

掌握定積分的性質，并能利用這些性質進行理論證明，掌握常用可積函數類．

4、級數論考試內容

各種數項級數尤其是正項級數的斂散性判別；② 數項級數的性質

③ 函數列和函數項級數的一致收斂性判別，給定函數 Fourier 級數的展開和特殊

點的收斂性；④函數列和函數項級數一致收斂性質的靈活運用；⑤冪級數的收

斂性和展開等知識的熟練掌握.

考試要求

（1）熟練掌握級數的斂散性判別，尤其是正項級數和交錯級數斂散性判別.

（2）掌握數項級數的一些常用性質，尤其是絕對收斂級數與條件收斂結束

的常規性質.

（3）熟練掌握函數列和函數項級數一致收斂性的判別，尤其是用定義、優

級數判別法、Abel 判別法、Dirichlet 判別法判別函數項級數的一致收斂性，熟練

掌握給定函數的 Fourier 展開，能給出 Fourier 級數在特殊點的收斂性.

（4）熟練掌握函數列和函數項級數一致收斂性的性質運用，包括連續性、

可積性和可微性，能利用這些性質進行理論證明.

（5）熟練掌握冪級數收斂區間的求法，熟練掌握常規函數的冪級數展開，

并掌握一些特殊冪級數和函數的求法.

5、多變量微分學和參變量積分

考試內容

① 可微的定義； ② 求復合函數以及隱函數的偏導數； ③

多元函數極值

理論； ④ 參變量積分的一致收斂性判別； ⑤

參變量積分的計算； ⑥ 參變

量積分一致收斂性質的運用等.

考試要求

（1）掌握多元函數可微的定義，能熟練利用定義證明某些常規函數的可微

性，掌握多元函數可微、連續、可求偏導之間的關系.

（2）熟練掌握多元函數復合函數求偏導數尤其是高階偏導數，掌握方程或

方程組確定的隱函數偏導的計算.

（3）熟練掌握多元函數極值的計算，并能計算有界閉域上連續函數的最值..

（4）熟練掌握含參變量廣義積分一致收斂性的判別.

（5）熟練掌握含參變量常義積分和廣義積分的計算.（6）熟練掌握含參變量常義積分和廣義積分的連續性、可積性和可導性，

并能利用這些性質進行計算和證明..

6、多元積分學

考試內容

①二重積分、三重積分的計算； ② 格林公式、高斯公式的靈活運用；

③兩類曲線積分、兩類曲面積分的計算；④ 各種積分之間的相互關系等

考試要求

（1）熟練掌握二重積分、三重積分的計算，熟練掌握降維、換元法，尤其

是極坐標、球坐標變換.

（2）熟練掌握 Gree 公式、Gauss 公式的條件和結論.

（3）熟練掌握第一類和第二類曲線積分和曲面積分的計算.

（4）掌握平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數，

熟練掌握利用 Gree 公式求第二類曲線積分、利用 Gauss 公式求第二類曲面積分、

利用 Stokes 公式求空間第二類曲線積分..

三、參考書目

[1] 華東師范大學數學系編. 數學分析高等教育出版社, 2010

[2] 復旦大學數學系編. 數學分析. 高等教育出版社, 1979

吉首大學

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