2022年遼寧師范大學數學分析(學科教學)碩士研究生考研大綱及參考書目 正文

831《數學分析（學科教學）》考試大綱（專業學位）
注意：本大綱為參考性考試大綱，是考生需要掌握的基本內容。
第一章  實數集與函數
一．考核知識點
1. 實數
2. 數集·確界原理
3．函數概念
4．具有某些特性的函數
二．考核要求
1. 理解實數概念，掌握實數的小數表示及性質. 運用實數的有序性、稠密性、阿基米德性及封閉性論證有關問題。
2. 理解并掌握鄰域概念及應用。
3. 理解并掌握實數絕對值的有關性質及幾個常見不等式的應用。  
4. 掌握實數集確界的概念及確界原理在有關問題中的正確運用。
5. 理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。
6. 掌握復合函數、分段函數、反函數、有界函數、單調函數和周期函數等概念，理解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，并能利用函數的各種特性解決簡單的應用問題。
7. 識記基本初等函數的定義、性質及其圖形，理解初等函數的概念，會求初等函數定義域，分析初等函數的復合關系。
 
第二章   數列極限
一．考核知識點
1．數列極限概念
2．收斂數列的性質
3．數列極限存在的條件
二．考核要求
1. 掌握數列的收斂與發散的概念，會用定義證明數列極限有關問題，并會用語言正確表述數列不以某數為極限。                                  
2. 理解并掌握收斂數列的性質：唯一性、有界性、保號性、算術性質、保不等式性質性、迫斂性等。
3. 會用極限的四則運算法則，迫斂性定理以及單調有界定理判斷數列的收斂性，并會利用它們求收斂數列的極限。                                              
4. 掌握數列極限存在的柯西準則，并會利用它證明數列的收斂性。
5. 掌握數列子列的概念及致密性定理，會利用子列判斷數列的收斂性。
 
第三章   函數極限
一．考核知識點
1．函數極限概念
2．函數極限的性質
3．函數極限存在的條件
4．兩個重要的極限
5．無窮大量與無窮小量
二．考核要求
1. 掌握函數極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。
2. 能運用或語言證明與函數極限有關的命題，并會用或語言正確表述函數不以某定數為極限。                           
3. 理解并掌握函數極限基本性質：唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性質及四則運算性質。
4. 理解歸結原則（海涅定理）及柯西準則，會利用它們判斷函數極限存在與否。                                  
5. 識記兩個重要極限（），能靈活運用其求一些相關函數極限。     
6. 理解無窮小(大)量及其階的概念, 掌握無窮小(大)量階的比較，會用無窮小量求某些函數的極限,會求曲線的漸近線。

第四章  函數的連續性
一．考核知識點
1．連續性概念
2．連續函數的性質
3．初等函數的連續性
二．考核要求
1. 掌握函數在一點連續定義的幾種等價敘述，能夠利用定義判斷函數在一點的連續性。
2. 會熟練準確地求出一般初等函數或分段函數的間斷點并判別其類型。
3. 理解并掌握閉區間上連續函數的基本性質（最值定理、有界性定理、介值性定理、根的存在定理），并能在相關問題的證明或討論中正確運用。
4. 理解初等函數的連續性，了解反函數和復合函數的連續性. 會應用連續性求極限。         
5. 理解函數一致連續性概念，并能判斷函數的一致連續性與否。
 
第五章  導數與微分
一．考核知識點
1．導數的概念
2．求導法則
3．參變量函數的導數
4．高階導數
5．微分
二．考核要求
1. 理解導數的概念及幾何意義，利用定義法求函數在一點的導數.會求曲線上一點處的切線方程和法線方程， 用導數概念解決相關變化率的實際應用問題。                   
2. 掌握函數可導的充要條件，理解函數的可導性與連續性之間的關系. 熟記各類基本初等函數導數公式，綜合運用求導的法則和方法熟練計算初等函數的導數。
3. 會求參變量函數、分段函數、隱函數及反函數的導數。                                 
4. 理解函數微分的概念，用定義求簡單函數的微分，運用基本公式和微分法則求初等函數的微分。                               
5. 理解導數與微分的聯系，增量與微分的關系，會用微分作近似計算。    
6. 理解高階導數與高階微分概念，明確二者的聯系，會用萊布尼茨公式求一些簡單函數的高階導數與高階微分，理解一階微分形式的不變性并用其求復合函數的微分。
 
第六章 微分中值定理及其應用
一．考核知識點
1．拉格朗日定理和函數的單調性
2．柯西中值定理和不定式極限
3．泰勒公式
4．函數的極值與最大（小）值
5．函數的凸性與拐點
6. 函數圖象的討論
二．考核要求
1. 掌握羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理、達布導函數介值定理和泰勒（Taylor）定理 （帶幾種余項的）并熟練利用中值定理證明有關函數微分學的命題。
2. 掌握洛必達法則，靈活應用洛必達法則求不定式的極限。
3. 理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。
4. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性， 會求函數圖形的拐點以及漸近線，會描繪函數的圖像。
 
第七章  實數的完備性
一．考核知識點
1. 關于實數集完備性的基本定理
二．考核要求
1. 理解區間套、聚點、確界、覆蓋、子列等概念，會求點集的聚點、確界。
2. 理解實數基本定理并能準確表述，明確其等價性。        
3. 應用閉區間上連續函數的性質討論函數的有界性、最值性、證明方程根的存在性。
4. 函數一致連續性的判別及有關問題的證明。
 
第八章  不定積分
一．考核知識點
1．不定積分概念與基本積分公式
2．換元積分法與分部積分法
3．有理函數和可化為有理函數的不定積分
二．考核要求
1. 理解原函數和不定積分的概念，掌握原函數與不定積分的關系以及積分與微分的關系。   
2. 熟記基本積分公式，用線性運算法則求不定積分。            
3. 用換元積分法和分部積分法或綜合運用這幾種方法求不定積分。
4. 掌握有理函數、三角函數有理式、簡單無理函數的不定積分的計算。                                                
5. 明確函數在定義區間存在原函數的條件，會判斷原函數的存在性。
 
第九章  定積分
一．考核知識點
1．定積分概念
2. 牛頓-萊布尼茨公式
3．可積條件
4. 定積分的性質
3．微積分學基本定理·定積分的計算 
二．考核要求
1. 理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎上會用定義求簡單函數的定積分。                              
2. 明確可積的必要條件、充要條件及可積函數類。          
3. 熟練地應用定積分的性質進行積分的計算，積分值的大小比較、 求平均值及有關證明。                                      
4. 理解微積分學基本定理的實質， 熟練運用牛頓——萊布尼茨公式進行有關積分的證明和計算。
5. 理解積分變上限的函數，會求它的導數。
6. 會用換元積分法和分部積分法計算定積分。
 
第十章  定積分的應用
一．考核知識點
1. 平面圖形的面積
2. 由平行截面面積求體積
3. 平面曲線的弧長與曲率
4. 旋轉曲面的面積
二．考核要求
    1. 理解微元法的思想.
2. 用定積分解決某些幾何應用問題：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、一些特殊立體的體積、旋轉曲面的面積等的計算。
 
第十一章   數項級數
一．考核知識點
1．級數的收斂性
2．正項級數
3. 一般項級數
二．考核要求
1. 理解數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本及收斂的必要條件，能用定義、性質及收斂的必要條件判別級數的斂散性。
2. 掌握幾何級數與 p 級數的收斂與發散的條件。
3. 掌握正項級數收斂性的柯西判別準則、比較判別法、比值判別法、根值判別法、積分判別法等。
4. 掌握交錯級數收斂性的萊布尼茨判別法。
5. 用狄利克雷判別法、阿貝爾判別法判斷某些級數的斂散性。
6. 掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，理解絕對收斂與收斂的關系。
 
第十二章  函數列與函數項級數
一．考核知識點
1．一致收斂性
2．一致收斂函數列與函數項級數的性質
二．考核要求
1. 理解函數項級數的收斂域、和函數的概念及性質。
2. 理解與掌握函數列或函數項級數一致收斂的概念和性質的。    
3. 掌握函數項級數一致收斂性與否的判別方法(柯西準則、優級數判別法、余項準則、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法等)。                       
4. 掌握一致收斂的函數列與函數項級數表示的函數的連續性、可積性、可微性，并用這些性質去解決有關問題。
 
第十三章  冪級數
一．考核知識點
1．冪級數
2．函數的冪級數展開
二．考核要求
1. 理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法。               
2. 熟記幾個常用初等函數的麥克勞林展開式，并利用其將某些初等函數展開成冪級數。                                           
3. 理解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數， 并會由此求出某些數項級數的和。
 
第十四章   多元函數的極限與連續
一．考核知識點
1．平面點集與多元函數
2．二元函數的極限
3．二元函數的連續性
二．考核要求
1. 理解平面點集的有關概念，求函數的定義域并繪圖表示。     
2. 理解并掌握二元函數極限概念，明確重極限與累次極限的關系， 能借助累次極限解決極限有關問題,說明二元函數極限不存在的常用方法的應用。                                            
3. 理解二元函數連續的概念，會利用連續性求初等函數的極限，掌握有界閉域上連續函數的性質。
 
第十五章   多元函數微分學
一．考核知識點
1．可微性
2．復合函數微分法
3．方向導數與梯度
4. 泰勒公式與極值問題
二．考核要求
1. 深刻理解多元函數全微分和偏導數的概念及聯系，用定義求函數在指定點的偏導數,討論函數的可微性，會求多元函數的全微分。
2. 理解并掌握函數的可微、連續、偏導存在與偏導數連續之間關系。
3. 掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法，以及一些簡單函數的高階偏導數的求法。
4. 理解方向導數與梯度的概念， 并掌握其計算方法。
5. 理解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。
6. 理解多元函數的泰勒公式。
7. 理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，理解多元函數極值存在的充分條件，會求簡單的多元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值， 會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。
 
第十六章  曲線積分
一．考核知識點
1．第一型曲線積分
2．第二型曲線積分
二．考核要求
1. 熟練運用兩類曲線積分的計算法求曲線積分。      
2. 用曲線積分的幾何意義及物理意義解決有關應用問題。
 
第十七章  重積分
 一．考核知識點
1．二重積分的概念
2. 直角坐標系下二重積分的計算
3．格林公式 • 曲線積分與路線的無關性
4．二重積分的變量變換
5. 三重積分
6．重積分的應用
二．考核要求
1. 理解重積分和累次積分的概念及性質，會化重積分為累次積分。
2. 熟練掌握二重積分、三重積分的變量變換公式，會用直角坐標變換和極坐標變換求二重積分、用柱面坐標變換和球面坐標變換求三重積分。
3. 掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數。
4. 會用重積分計算曲面面積、體積等幾何量。
 
第十八章  曲面積分
一．考核知識點
1．第一型曲面積分
2．第二型曲面積分
3. 高斯公式與斯托克斯公式
二．考核要求
1. 熟練掌握第一型曲面積分和第二型曲面積分的計算。
2. 應用高斯公式和斯托克斯公式計算曲面積分及空間曲線積分。
 
參考書目：數學分析，華東師范大學數學科學學院編，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
 

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