南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

    考試大綱

    科目代碼：702

    科目名稱：數學分析

    第一部分目標與基本要求

    1．掌握數學分析的基本概念，了解數學分析的發展歷史，掌握科學的思想和方法；

    2．掌握數學分析的基本方法，具備嚴謹的數學語言表達能力、邏輯思維能力與數學運算能力,養成認真、求實、勤奮良好的教學科研精神與學風；

    3．掌握數學分析的基本理論，培養抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及運算能力，養成反思和獨立思考的習慣，為后繼課程學習打下堅實的基礎；

    4．培養建立數學模型的能力以及綜合運用數學分析知識去分析和解決問題的能力，體會和領悟數學的簡潔性與深刻性，提高數學思維能力和科學素養，具備一定的科學研究能力。培養反思及自主學習能力。

    第二部分內容與考核目標

    一、實數集與函數

    1實數集及其性質2確界定義與確界原理3函數概念4有某些特性的函數（有界函數、單調函數、奇函數與偶函數、周期函數）

    理解和掌握鄰域，有界集，上下確界函數，復合函數，反函數，有界函數，單調函數，奇函數，偶函數概念。熟練掌握上下確界，復合函數，反函數的應用

    二、數列極限

    1數列極限概念2收斂數列的性質（唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算）3數列極限存在的條件：包括單調有界定理與柯西（Cauchy）準則

    理解和掌握數列極限的定義，數列極限性質的原理及推導。單調有界原理，柯西準則及應用。

    三、函數極限

    1函數極限概念2函數極限的性質（唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算）3函數極限存在的條件：包括歸結原則（Heine定理），單調有界定理與柯西準則4兩個重要極限5無窮小量，無窮大量,非正常極限，階的比較，曲線的漸近線。

    熟練掌握函數極限定義證明，運算求極限。函數極限柯西準則及應用。兩個重要極限的計算，無窮小量，無窮大量概念，無窮小量階的比較及應用。一致連續性及應用。

    四、函數的連續性

    1連續性概念，間斷點及其分類2連續函數的性質（有界性、保號性、連續函數的四則運算、復合函數的連續性、反函數的連續性；閉區間上連續函數的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續性）3實數集完備性的基本定理的應用4初等函數的連續性

    熟練掌握連續性的定義及其證明，間斷點及其分類。連續函數的局部性質，閉區間上連續函數的性質。區間套定理，柯西準則聚點定理，有限覆蓋定理原理及證明。閉區間上的連續函數性質的原理及證明及應用。

    五、導數與微分

    1導數的概念2求導法則3微分概念4高階導數與高階微分5參量方程所確定的函數的導數

    理解和掌握：導數概念。導數的四則運算。反函數的導數。復合函數的導數。求導法則與公式。微分概念，微分的運算法則。高階導數與高階微分。參數方程的一階及二階導數。

    六、微分中值定理及其應用

    1中值定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）2不定式極限3泰勒公式（及其皮亞諾余項與拉格朗日余項、一些常用初等函數的泰勒展開式、了解應用于近似計算）4掌握函數的單調性、極值、最大值與最小值5函數的凸性與拐點6函數圖象的討論

    熟練掌握各種微分中值定理，泰勒公式并運用到討論函數的性態

    七不定積分

    1原函數與不定積分概念，基本積分公式2換元積分法與分部積分法3有理函數和可化為有理函數的積分

    理解和掌握：不定積分的運算法則，換元積分，分步積分法，有理函數的積分，三角函數的積分。

    八、定積分

    1掌握定積分的概念及其幾何意義2掌握可積條件的應用（包括必要條件，可積準則），掌握三類可積函數3掌握定積分的性質（線性運算法則、區間可加性、不等式性質、絕對可積性，積分中值定理）4掌握微積分學基本定理，定積分的分部積分法與換元法

    理解和掌握：定積分的定義，可積必要及充分條件，可積函數類。熟練掌握定積分的性質原理，微積分基本定理，換元積分法，分步積分法及應用。

    九、反常積分

    1無窮限反常積分概念、柯西準則，絕對收斂與條件收斂2無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法及p-函數判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法3無界函數反常積分概念，無界函數反常積分比較判別法及p-函數判別法

    掌握非正常積分的定義，性質，熟練掌握非正常積分判別準則。

    十、定積分的應用

    1掌握平面圖形的面積2掌握由截面面積求體積、旋轉體的體積3掌握曲線的弧長與了解曲率4掌握旋轉曲面的面積

    十一、數項級數

    1級數收斂的概念，柯西收斂準則，收斂級數的性質2正項級數收斂判別法（比較判別法、p-級數判別法、比式與根式判別法、積分判別法）3一般項級數的絕對收斂與條件收斂、交錯級數的萊布尼茲判別法，阿貝爾（Abel）判別法與狄利克雷（Dirichlet）判別法，絕對收斂級數的性質

    理解和熟練掌握：級數一般判別原則，比較及根式判別方法，積分判別方法原理及使用。交錯級數，絕對收斂，阿貝爾判別法，阿貝爾。狄里克里判別法原理及應用。

    十二、函數列與函數項級數

    1函數列與函數項級數的一致收斂性，柯西準則，函數項級數的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優級數判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法2函數列極限函數與函數項級數和函數的連續性、可積性、可微性

    理解和熟練掌握：函數列的一致收斂性，函數項級數的一致收斂性判別法原理及應用。一致收斂性函數列及函數項級數分析性質原理及應用。

    十三、冪級數

    1冪函數的收斂性，阿貝爾定理，收斂半徑與收斂域，內閉一致收斂性，和函數的分析性質2函數的冪級數展開

    熟練掌握：阿貝爾定理，收斂區間判別方法，冪級數的分析性質，泰勒級數，冪級數的展開原理及應用。

    十四、傅里葉級數

    1傅里葉級數的概念，三角函數系的正交性2以2L為周期的函數的展開式，奇式與偶式展開3收斂定理的證明

    熟練掌握：為周期的傅里葉級數展開，收斂定理證明。為周期的傅里葉級數展開。為周期的傅里葉級數，偶函數與奇函數的傅里葉級數。

    十五、多元函數的極限與連續

    1理解平面點集與多元函數2掌握二元函數的極限，重極限與累次極限3理解二元函數的連續性，有界閉域（集）上連續函數的性質

    十六、多元函數的微分學

    1掌握偏導數與全微分概念，可微性2掌握復合函數微分法，高階導數，高階微分，混合偏導數與其順序無關性3掌握方向導數與梯度4掌握泰勒公式與極值問題

    十七、隱函數定理及其應用

    1理解隱函數的概念，隱函數定理2掌握隱函數組定理，隱函數組求導、反函數組與坐標變換，函數行列式及其性質3掌握幾何應用（空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線）4掌握條件極值與拉格朗日乘數法

    十八、含參量積分

    1掌握含參量正常積分，連續性、可積性與可微性2掌握含參量反常積分的收斂與一致收斂，柯西準則，維爾特拉斯（Weierstrass）判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，含參量無窮積分的連續性，可積性與可微性3理解歐拉積分

    十九、曲線積分

    1掌握第一型曲線積分的概念，性質和計算公式2掌握第二型曲線積分的概念，性質和計算公式，兩類曲線積分之間的關系

    二十、重積分

    1掌握二重積分概念與性質2掌握二重積分的計算（化為累次積分），二重積分的換元法（極坐標與一般變換）3.掌握格林（Green）公式，曲線積分與路線的無關性3掌握三重積分的概念與計算，三重積分的換元法（柱坐標、球坐標與一般變換）4理解重積分的應用（體積、曲面面積等）

    二十一、曲面積分

    1理解第一型曲面積分的的概念與計算2掌握第二型曲面積分的概念與計算，理解兩類曲面積分之間的關系3掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式

    第三部分有關說明與實施要求

    1.基本要求：掌握數學分析中的基本概念，理解考試范圍內的各種微積分思想，掌握處理問題分析的基本方法、基本原理，具有運用數學分析方法解決實際問題的基本能力。

    2.命題說明：分值比例：“了解”占15%，“理解”占40%，“掌握”占45%；題型為解答題和證明題。

    3.參考書目:

    （1）梅加強,數學分析,高等教育出版社,2011.

    （2）裴禮文，數學分析中的典型問題與方法（第二版），高等教育出版社,2006.

    （3）華東師范大學數學系編，數學分析（第四版），高等教育出版社,2013.

    4.其他規定：重點難點集中在一元函數微積分學部分，多元函數積分要理解其物理意義。考試方式為閉卷筆試，總分150分，考試時間為180分鐘。

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