學科、專業名稱：學科教學（數學） 

復試科目：初等幾何研究

考試大綱

考試科目：初等幾何研究考試形式和試卷結構

一、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

三、試卷題型結構

簡答題 2 小題，共 20 分。

辨析題 3 小題，共 20 分。

問題解決題 3 小題，共 45 分。

論述題 1 小題，共 15 分。

四、考試內容

（一）問題解決基本內容

何謂問題;何謂問題解決;問題解決過程的分析;問題解決中的幾何問題;平面幾何問題解決過程。

具體要求

1.掌握幾何問題解決教學的含義。

2.了解幾何問題解決教學的相關理論。

3.掌握幾何問題的分析方法。

（二）幾何問題解決教學的邏輯基礎

數學概念及其產生；數學中的定義；判斷與命題；簡單命題；復合命題；數學命題的四種形式；命題的條件；同一性命題和分斷式命題；形式邏輯的基本規律；數學中的推理；數學中的證明。

具體要求

1.理解并掌握數學概念的含義、內涵和外延、定義方式及其原則。

2.理解并掌握數學命題的含義、類型及其形式。

3.理解并掌握同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。

4.理解并掌握數學推理和數學證明。

（三）對稱與初等幾何變換

合同變換的概念；合同變換的性質；平移變換的概念；平移變換的應用；旋轉變換的概念；旋轉變換的應用；反射變換的概念；反射變換的應用；相似變換及其應用；位似變換及其應用。

具體要求

1.掌握合同變換的含義。

2.掌握平移變換、旋轉變換、反射變換、相似變換與位似變換及其性質。

3.熟練應用上述變換解決問題。

（四）初等幾何問題解決策略（上）

線段相等的證明；角的相等的證明；面積相等問題的證明；與圓有關的相等問題的證明；如何證明角或線段的和差問題；如何證明角或線段的倍分關系問題； 角或線段的不等問題的證明；如何證明兩線的平行；如何證明兩線垂直；運用幾何知識求幾何極值問題；運用代數方法求幾何極值；運用三角方法求幾何極值； 證明定值問題；證明三點共線的一般方法；證明三線共點的一般方法；證明四點共圓。

具體要求

1.掌握相等問題的證明策略：線段的相等問題、角的相等問題、面積的相等問題、比例的相等問題等等。

2.掌握角或線段的和差與倍分問題的證明策略。

3.掌握直線的平行與垂直問題的證明策略。

4.掌握極值問題的證明策略。

5.掌握定值問題的證明策略。

6.掌握三點共線和三線共點問題的證明策略。

7.掌握四點共圓問題的證明策略。

（五）初等幾何問題解決策略（下）

比例法；代數法；三角法；解析法；用其它學科的方法證明幾何題；微積分證法；矢量證法；用仿射變換證明一些初等幾何題；利用抽屜原則證明初等幾何題。

具體要求

1.掌握數形結合的解決問題的策略：比例法、代數法、三角法、解析法。

2.掌握用其它學科的方法解決初等幾何問題的策略。

3.掌握用高等數學方法解決初等幾何問題的策略：微積分方法；向量證法； 仿射變換方法。

4.掌握用抽屜原則解決一些初等幾何問題。

（六）勾股定理的證明具體要求

1.了解勾股定理的歷史。

2.掌握勾股定理的一些典型的證明方法。

3.掌握勾股定理的應用。

（七）幾何問題解決過程中邏輯錯誤及其分析具體要求

1.了解悖論的含義和特點。

2.掌握對初等幾何問題解決過程中出現的具有悖論性質的邏輯錯誤根源的分析方法。

加試 1 科目：常微分方程考試大綱：

考試科目：常微分方程考試形式和試卷結構

一、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

三、試卷內容結構四、試卷題型結構

單選題 5 小題，每小題 4 分，共 20 分

填空題 5 小題，每小題 4 分，共 20 分解答題（包括證明題）6 小題，共 60 分

主要參考書目：常微分方程（王高雄，朱思銘等編著，高等教育出版社）教材的前五章。

主要考查內容：

第一章：基本概念。

第二章，一階微分方程的初等解法（包括奇解）。

第三章，解的存在唯一性定理的分析和應用；解的延拓。

第四章，高階線性微分方程解的結構理論；常系數線性方程及歐拉方程的求解方法。如，常數變易法；歐拉待定指數函數法；比較系數法。

第五章，解的基本理論。存在唯一性定理及其應用；解的結構理論；基解矩陣與矩陣指數；基解矩陣的計算方法。

加試 2 科目：解析幾何考試大綱

科目名稱：解析幾何

一、考試形式和試卷結構

（一）試卷滿分及考試時間

本試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷題型結構

計算題 6 個大題，共 78 分

證明題 2 個大題，共 22 分

二、考查目標（復習要求）

考試內容包括解析幾何一門課程的前四章內容（第一章：矢量與坐標、第二章：軌跡與方程、第三章：平面與空間直線、第四章：柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面），要求考生系統掌握基本知識、基本方法，并能運用相關知識、理論和方法解決實際問題。

三、考試內容概要

第一章：矢量與坐標

1.考試內容

（1）矢量的概念

（2）矢量的加法

（3）數量乘矢量

（4）矢量的線性關系與矢量的分解

（5）標架與坐標、矢量的坐標運算

（6）矢量在軸上的射影

（7）兩矢量的數性積

（8）兩矢量的矢性積

（9）三矢量的混合積

2.考試要求

掌握矢量的概念、各種運算，掌握矢量共線、共面的充要條件加法的兩個法并能運用矢量法證明有關幾何命題。

3.重點、難點

矢量的基本概念、矢量的各種運算及線性相關和線性無關的判斷，數性積、

矢性積和混合積的幾何意義，幾何命題轉化為矢量間的關系以及矢量的應用。第二章：軌跡與方程

1.考試內容

（1）平面曲線的方程、曲面的方程

（2）母線平行于坐標軸的柱面方程以及柱面的作圖

（3）空間曲線方程2.考試要求

熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程，掌握建立曲面、空間曲線（主要是參數方程）的方法，會判斷已知方程所表示的軌跡是什么。

3.重點、難點

空間坐標系下曲面與空間曲線方程的定義及曲面和空間曲線方程的求法；空間坐標系下母線平行于坐標軸的柱面方程及曲面和曲線的參數方程。

第三章：平面與空間直線

1.考試內容

（1）平面的方程、平面與點的相關位置

（2）兩平面的相關位置、空間直線的方程

（3）直線與平面的相關位置

（4）空間兩直線的相關位置

（5）空間直線與點的相關位置、平面束

2.考試要求

掌握空間坐標系下平面、直線方程的各種形式的方程，明確方程中參數的幾何意義，能根據決定平面或決定直線的各種條件導出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線各種方程形式的互化；熟練掌握平面與空間直線間各種位置關系的解析條件，能熟練地根據平面和直線的方程以及點的坐標判別有關點、平面、直線之間的位置關系與計算它們之間的距離和交角。

3.重點、難點

重點：空間坐標系下平面、直線方程的幾種重要形式；平面與空間直線間各種位置關系的解析條件；平面與空間直線各種度量關系的量化公式。

難點：平面（或空間直線）各種形式方程的互化；綜合運用位置關系的解析條件求平面、空間直線方程。

第四章：柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面

1.考試內容

（1）柱面

（2）錐面

（3）旋轉曲面

（4）橢球面

（5）雙曲面

（6）拋物面

（7）曲面的直紋性

2.考試要求

掌握常見二次曲面的定義及標準方程，牢固掌握坐標平面上的曲線繞坐標軸旋轉所得旋轉面方程的求法；掌握柱面、錐面、旋轉曲面的定義、方程求法和方程特征；了解常見二次曲面的性質和形狀，會畫它們的草圖；了解二次曲面的直紋性。

3.重點、難點

重點：柱面、錐面、旋轉曲面的概念及方程求法；橢球面、雙曲面、拋物面方程的討論，圖形性質和形狀的畫法；坐標平面上的曲線繞有關坐標軸旋轉，所產生旋轉曲面方程的求法。

難點：錐面方程的特征及其論證；單葉雙曲面和雙曲拋物面幾何性質的分析； 二次曲面直紋性的證明。

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