2021山東大學681數學（單）研究生考試大綱 正文

681數學（單）
 
Ⅰ．考試科目
一元微積分、線性代數、概率論。
 
Ⅱ．考試目的
考察考生數學基礎知識、基本思想方法，數學基本運算能力及運用所掌握的數學知識和方法分析問題和解決問題的能力。
 
Ⅲ．考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
三、試卷題型與結構
1.選擇題：共20題，每題5分。
2.計算題：8選5，每題10分。
3.試卷內容結構：
一元微積分　約70分。
線性代數　約50分。
概率論  約30分。
 
Ⅳ．考查內容
一、一元微積分
（一）函數、極限、連續
考試內容
函數的概念及表示法  函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性  復合函數、反函數、分段函數和隱函數  基本初等函數的性質及其圖形  初等函數  函數關系的建立。
數列極限與函數極限的定義及其性質  函數的左極限和右極限  無窮小量和無窮大量的概念及其關系  無窮小量的性質及無窮小量的比較  極限的四則運算  極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則  兩個重要極限：

函數連續的概念  函數間斷點的類型  初等函數的連續性  閉區間上連續函數的性質。
考試要求
1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。
2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。
3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。
4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。
5．了解數列極限和函數極限（包括左極限與右極限）的概念。
6．了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
7．理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法．了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。
8．理解函數連續性的概念，會判別函數間斷點的類型。
9．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質。
（二）一元函數微分學
考試內容
導數和微分的概念  導數的幾何意義  函數的可導性與連續性之間的關系　 平面曲線的切線與法線  導數和微分的四則運算 基本初等函數的導數  復合函數、反函數和隱函數的微分法  高階導數 　一階微分形式的不變性  微分中值定理  洛必達（L'Hospital）法則  函數單調性的判別  函數的極值  函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線   函數圖形的描繪  函數的最大值與最小值。
考試要求
1．理解導數的概念及可導性與連續性之間的關系，了解導數的幾何意義與經濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程。
2．掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則及復合函數的求導法則，會求分段函數的導數，會求反函數與隱函數的導數。
3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。
4．了解微分的概念、導數與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數的微分。
5．理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握這四個定理的簡單應用。
6．會用洛必達法則求極限。
7．掌握函數單調性的判別方法，了解函數極值的概念，掌握函數極值、最大值和最小值的求法及其應用。
8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性（注：在區間內，設函數具有二階導數．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點和漸近線。
9．會描述簡單函數的圖形。
（三）一元函數積分學
考試內容
原函數和不定積分的概念  不定積分的基本性質  基本積分公式  定積分的概念和基本性質  定積分中值定理  積分上限的函數及其導數  牛頓-萊布尼茨（Newton- Leibniz）公式  不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法  反常（廣義）積分  定積分的應用。
考試要求
1．理解原函數與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。
2．了解定積分的概念和基本性質，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數并會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法。
3．會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和函數的平均值。
二、線性代數
（一）行列式
考試內容
行列式的概念和基本性質　行列式按行（列）展開定理。
考試要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質。
2.會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。
（二）矩陣
考試內容
矩陣的概念　矩陣的線性運算　矩陣的乘法　方陣的冪　方陣乘積的行列式　矩陣的轉置　逆矩陣的概念和性質　矩陣可逆的充分必要條件　伴隨矩陣　矩陣的初等變換　初等矩陣　矩陣的秩　矩陣的等價分塊矩陣及其運算。
考試要求
1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質。
2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。
3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法。
5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則。
（三）向量
考試內容
向量的概念　向量的線性組合與線性表示　向量組的線性相關與線性無關　向量組的極大線性無關組  等價向量組　向量組的秩　向量組的秩與矩陣的秩之間的關系  向量的內積  線性無關向量組的正交規范化方法。
考試要求
1．了解向量的概念，掌握向量的加法和數乘運算法則。
2．理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關、線性無關等概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。
3．理解向量組的極大線性無關組的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。
4．理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關系。
5．了解內積的概念．了解線性無關向量組正交規范化的施密特（Schmidt）方法。
（四）線性方程組
考試內容  
線性方程組的克拉默（Cramer）法則　線性方程組有解和無解的判定　齊次線性方程組的基礎解系和通解  非齊次線性方程組的解與相應的齊次線性方程組（導出組）的解之間的關系　非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1.會用克拉默法則解線性方程組。
2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法。
3.理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。
4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。
（五）矩陣的特征值和特征向量
考試內容
矩陣的特征值和特征向量的概念、性質　相似矩陣的概念及性質　矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣　實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣。
考試要求
1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法。
2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。
3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。
三、概率論
（一）隨機事件和概率
考試內容
隨機事件與樣本空間　事件的關系與運算　完備事件組　概率的概念　概率的基本性質　古典型概率　幾何型概率　條件概率　概率的基本公式　事件的獨立性　獨立重復試驗。
考試要求
1．了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系及運算。
2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式等。
3．理解事件的獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法。
（二）隨機變量及其分布
考試內容
隨機變量　隨機變量分布函數的概念及其性質　離散型隨機變量的概率分布　連續型隨機變量的概率密度  常見隨機變量的分布  隨機變量函數的分布。
考試要求
1．理解隨機變量的概念，理解分布函數
（）
的概念及性質，會計算與隨機變量相聯系的事件的概率。
2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應用。
3．掌握泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。
4．理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態分布、指數分布及其應用，其中參數為的指數分布的概率密度為

會求隨機變量函數的分布。
（三）隨機變量的數字特征
考試內容
隨機變量的數學期望（均值）、方差、標準差及其性質  隨機變量函數的數學期望  切比雪夫（Chebyshev）不等式  切比雪夫大數定律。
考試要求
1．理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差）的概念，會運用數字特征的基本性質，并掌握常用分布的數字特征。
2．會求隨機變量函數的數學期望。
3．了解切比雪夫不等式和切比雪夫大數定律。

山東大學

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