近世代數

 

    一、考查目標

 

    近世代數是以研究代數結構的性質、構造與分類為中心的一門學科，是現代數學各個分支的基礎學科之一。要求學生通過本課程的學習，掌握近世代數的基本概念與基本理論，主要包括群、環、域等基礎理論，培養抽象思維的能力。考試目的主要考察學生對群、環、域這三類較為常見的代數結構的概念和及其性質的掌握程度，以及學生利用相關知識進行抽象思維的能力。

 

    二、試卷結構

 

    1、題型結構

 

    計算題（約40%），證明題（約60%），共計100分

 

    2、內容結構

 

    群論（約40%），環論(約40%），域論（約20%）

 

    三、考試內容及要求

 

    1、群論

 

    考試內容：關系、等價關系與劃分的對應、群論的基本概念（包括子群、陪集、群同態、循環群、置換群、群的直積、群作用等）、性質及循環群的結構、群同態基本定理、拉格朗日定理、西羅定理、軌道穩定子公式等基本定理。

 

    考試要求：了解集合、映射、關系以及等價類的概念；理解等價關系和劃分的對應。理解群、子群、生成子群、群同構、循環群、置換群和對稱群等概念，會證明兩個群是否同構，熟練掌握循環群的性質、結構及分類，掌握置換的輪換分解定理，了解置換在對稱變換群中的應用。掌握左右陪集的概念和性質，會用拉格朗日定理和指數公式，熟練掌握正規子群和商群的概念及性質，熟練掌握群同態的概念及同態定理，掌握群的內外直積的概念和性質，熟練掌握群作用的概念及軌道穩定子定理，了解伯恩塞德引理，熟練掌握西羅定理及其應用，會判斷一個群是否單群。

 

    2、環論

 

    考試內容：環、子環、理想、零因子、整環、歐氏環、主理想整環等

 

    考試要求：掌握環和子環的概念和性質，掌握左右零因子、無零因子環、整環、除環、除環、體、域的區別，熟練掌握理想、主理想、商環的概念，掌握環同態定理和環的擴張定理，掌握素理想和極大理想的區別和聯系，掌握環的特征、素域的概念。了解多項式環，整環的商環的概念，掌握唯一分解整環的概念及其性質，掌握主理想整環和歐幾里得整環的概念及其性質，了解各類整環的區別和聯系。

 

    3、域論

 

    考試內容：向量空間、子空間、域擴張(單擴張、有限擴張、代數擴張）、分裂域。

 

    考試要求：掌握向量空間、子空間及空間維數的概念、掌握擴域、單擴張、有限擴張、及域論基本定理，掌握代數數、超越數、代數擴張、極小多項式、不可約多項式的概念，了解分裂域、完備域的概念及其性質，了解有限域的概念和性質。

 

    四、推薦書目

 

    韓士安、林磊.近世代數(第二版).北京：科學出版社,2009

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