浙江理工大學

    2021年碩士學位研究生招生考試業務課考試大綱

    考試科目：高等數學代碼：602

    一、基本要求：

    要求考生系統掌握高等數學學科的基本知識、基礎理論和基本方法，并能運用相關理論和方法分析、解決有關問題。

    二、范圍與要求：

    第一章函數與極限

    1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。

    2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

    3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。

    4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的基本概念。

    5.理解極限的概念、函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限存在之間的關系。

    6.掌握極限的性質及四則運算法則、極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

    7.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

    8.理解函數連續性的概念，掌握函數間斷點的類型的判別方法。了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。

    第二章導數與微分

    1.理解導數和微分的概念和關系、導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程。

    2.了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。

    3.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則、基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

    4.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數、分段函數的二階導數。

    5.會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。

    第三章微分中值定理與導數的應用

    1.理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理。

    2.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法、函數最大值和最小值的求

    法及其簡單應用。

    3.用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。

    4.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

    5.了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

    第四章不定積分

    1.理解原函數、不定積分概念和性質。

    2.掌握不定積分的基本公式、換元積分法與分部積分法。

    3.會求有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分。

    第五章定積分

    1.理解定積分的概念和性質。

    2.了解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

    3.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

    4.了解無窮限的反常積分和無界函數的反常積分的概念并會求反常積分。

    第六章定積分的應用

    1.理解定積分的元素法的基本思想。

    2.掌握用定積分計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力）及函數的平均值。

    第七章微分方程

    1.理解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

    2.掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法。

    3.會解二階常系數齊次線性微分方程。了解線性微分方程解的性質及解的結構定理，會解非齊次項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數，以及它們的和的二階常系數非齊次線性微分方程。

    第八章向量代數與空間解析幾何

    1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

    2.掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)，了解兩個向量垂直、平行的條件。

    3.理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。

    4.掌握平面方程和直線方程及其求法。

    5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等)解決有關問題。

    6.會求點到直線以及點到平面的距離。

    7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

    8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程。

    9.了解空間曲線的參數方程和一般方程。了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程。

    第九章多元函數微分法及其應用

    1.理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。

    2.了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質。

    3.理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

    4.理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法。

    5.掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法。

    6.了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。

    7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

    8.了解二元函數的二階泰勒公式。

    9.理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

    第十章重積分

    1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理。

    2.掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)。

    3.會用重積分求一些幾何量與物理量(曲頂柱體的體積、平面薄片的質量、曲面面積、質心、轉動慣量、引力等)。

    第十一章曲線積分與曲面積分

    1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。

    2.掌握計算兩類曲線積分的方法。

    3.掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數。

    4.了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分。

    5.了解散度與旋度的概念，并會計算。

    6.會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、形心、功及流量等)。

    第十二章無窮級數

    1.理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.

    2.掌握幾何級數與p級數的收斂與發散的條件。

    3.掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。

    4.掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。

    5.了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。

    6.了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。

    7.理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法。

    8.了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。

    9.了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。

    10.掌握泰勒級數的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。

    11.了解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表達式。

    三、試卷題型

    填空題：10小題，每小題4分，共40分

    計算、應用、證明題：10題，每題10-12分，共110分

    參考書目：

    《高等數學（第七版）》,同濟大學數學系，高等教育出版社,2014年,

    ISBN：9787040396638，9787040396621

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