鄭州大學 2021 年碩士生入學考試初試高等代數考試大綱

學院名稱 科目代碼 科目名稱 考試單元 說明

說明欄：各單位自命題考試科目如需帶計算器、繪圖工具等特殊要求的，請在說

明欄里加備注。

鄭州大學碩士研究生入學考試

《高等代數》考試大綱

一、考試基本要求及適用范圍概述

本《高等代數》考試大綱適用于鄭州大學數學與統計學院相關專業的碩士研究生

入學考試。高等代數是數學學科的基礎理論課程，主要內容包括多項式理論和線

性代數理論。要求考生系統地理解和掌握高等代數的基本概念和基本理論，掌握

多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ矩陣、

歐氏空間的基本理論，并能綜合運用所學的知識分析問題和解決問題。 二、考試形式

碩士研究生入學高等代數考試為閉卷，筆試，考試時間為 180 分鐘，本試卷滿分

為 150 分。

試卷結構（題型）：填空題、計算題、證明題

三、考試內容及要求

（一）多項式

理解數域的概念. 掌握一元多項式及其次數、首項的定義和運算，性質

掌握帶余除法定理，理解整除的概念和基本性質. 理解最大公因式、多項式互素的概念，會用輾轉相除法求最大公因式，掌握互素

多項式的性質. 理解不可約多項式的概念，理解多項式有根與多項式可約的聯系與區別，掌握不

可約多項式的性質和因式分解定理. 理解重因式、多項式的微商（導數）的概念，掌握多項式的重因式與其導數的關

命題學院（蓋章）： 考試科目代碼及名稱： 915 高等代數

系，和多項式沒有重因式的條件. 掌握余數定理，理解多項式的根與次數的關系，以及多項式相等與多項式函數相

等的一致性 8 復系數、實系數多項式的因式分解

理解代數學基本定理和復系數、實系數多項式的因式分解定理. 理解本原多項式及與有理多項式的聯系，掌握整系數多項式在有理數域上因式分

解、有有理根的性質和條件，掌握 Eisenstein 判別法. 了解多元多項式字典排序法. 理解多項式根與系數的關系，了解對稱多項式的基本定理. （二） 行列式

理解排列、逆序數、奇排列、偶排列、對換的概念，會計算排列的逆序數，理解

對換與排列的逆序數的關系，奇、偶排列各半，任意排列可以通過一系列對換與

標準排列互換. 掌握 n 階行列式的定義(包括等價定義)和一般項，會判斷給定項是否 n 階行列式

的一項. 熟練掌握 n 階行列式的性質，并能夠用 n 階行列式的性質計算行列式. 理解余子式、代數余子式的概念，熟練掌握按行、列展開定理. 理解 Cramer 法則的條件、結論和意義. 理解 k 級子式及其余子式、代數余子式的概念；理解 Laplace 定理與行列式的乘

法定理

（三） 線性方程組

理解系數矩陣、增廣矩陣等概念，會用消元法解方程組

理解 n 維向量及 n 維向量空間的概念，理解 n 維行、列向量的差異與聯系，掌握

向量的線性運算

理解向量組的線性表示、線性相關、線性無關的概念，會判斷向量組的線性相關

性，理解延長向量組（包括添加向量和添加分量兩種情況）與原向量組的線性相

關性的關系，理解向量組的線性表出與它們線性相關性的關系

理解向量組的秩、極大線性無關組的概念，掌握極大線性無關組的性質，掌握向

量組的秩、極大線性無關組與向量組的線性表出的聯系，會求向量組的極大線性

無關組和秩. 理解矩陣的秩、矩陣的行列式秩、k 級子式的概念，會求矩陣的秩并用矩陣的秩

判斷向量組的線性相關性，掌握方陣的秩、方陣的行列式、線性方程組有非零解

的聯系

掌握線性方程組有解判定定理的內容和意義，會利用矩陣的秩判斷線性方程組是

否有解，能夠分情況討論解的性質，理解自由未知量的選取方法. 理解基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組和非齊次線性方程組的解的結構，掌

握非齊次線性方程組的解與其導出組解的關系，會求齊次線性方程組的基礎解系，

以及用非齊次線性方程組的特解和其導出組的基礎解系表示通解. （四） 矩陣

理解矩陣的概念，掌握矩陣與行列式的區別與聯系

掌握矩陣的加法、數乘、轉置、乘積的運算和性質，理解對稱矩陣、反對稱矩陣

的概念

掌握矩陣乘積的行列式、矩陣的和與積的秩與原矩陣的秩的關系

掌握逆矩陣、伴隨矩陣的概念和性質，掌握方陣可逆的充要條件，會求逆矩陣

理解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算（包括求逆）與分法的限制條件，理

解準對角矩陣的概念和性質，會用分塊矩陣方法解決問題. 理解初等矩陣的概念，掌握初等矩陣與初等變換間的關系，矩陣的等價關系與等

價標準形，會用初等變換求逆矩陣，掌握矩陣初等變換下的不變量

理解分塊矩陣的初等變換，廣義初等矩陣與廣義初等變換的關系，會用廣義初等

變換解決分塊矩陣的問題

（五） 二次型

理解二次型的矩陣、秩的定義、性質，以及二次型與對稱矩陣的 1-1 對應

掌握合同矩陣的概念和性質，會用合同變換化對稱矩陣為對角矩陣；掌握非退化

線性替換的概念和性質，會用非退化線性替換化二次型為標準形. 理解實、復二次型規范形及其唯一性，理解正慣性指數、負慣性指數、符號差的

概念

理解正定矩陣、正定二次型，負定矩陣、負定二次型，半正定矩陣、半正定二次

型，半負定矩陣、半負定二次型的定義，掌握正定矩陣、正定二次型的幾個等價

條件. 定矩陣與正定二次型

（六）線性空間

理解集合，集合的交、并；掌握映射，單射，滿射，雙射，映射的乘法（合成）

掌握線性空間的定義，運算，性質

掌握線性空間的維數、基、坐標的概念，會求線性空間的維數、基，以及向量在

指定基下的坐標

理解基變換的過渡矩陣的概念，掌握基變換、坐標變換公式

理解線性子空間和由若干向量所生成的子空間的概念，會判斷子集合是否構成子

空間，會求子空間的維數、基，掌握補子空間及基擴充定理

理解子空間的交、和的概念，會求兩個子空間的交、和的基與維數，掌握維數公

式及其應用

掌握子空間的直和的概念以及幾個充要條件，會判斷子空間的和是否是直和

理解線性空間同構的概念和性質，掌握 n 維線性空間按同構的分類

（七） 線性變換

掌握線性變換的定義和性質

理解線性變換的加法、數乘、乘法、方冪、逆的定義和性質，

掌握線性變換的矩陣的概念，會求線性變換在指定基下的矩陣；掌握在取定基后

線性變換與它們的矩陣的一一對應關系；掌握一個線性變換在不同基下的矩陣的

關系；會求一個向量在線性變換下的像的坐標

熟練掌握線性變換（矩陣）的特征值、特征向量、特征多項式定義及計算，理解

特征子空間的概念；掌握相似矩陣的概念及其性質；理解 Hamilton-Cayley 定理

熟練掌握一個 n 級方陣相似于對角矩陣的條件（充分條件、必要條件、充要條件）；

會求可逆矩陣 T，使得 T

-1AT 為對角矩陣。

理解線性變換的值域、核的概念，會求線性變換值域與核的基、維數；掌握域與

核的維數間的關系

理解線性變換的不變子空間的概念；幾個常用的不變子空間例子；理解線性變換

的不變子空間分解與線性變換的矩陣為準對角矩陣的聯系；理解線性變換的根子

空間分解

（八） λ矩陣

理解λ矩陣與數字矩陣的區別與聯系：子式、行列式、秩、可逆，可逆的充要條

件

理解λ矩陣的初等變換、初等λ矩陣、λ矩陣的等價的概念和聯系，會求λ矩陣

的等價標準形

理解λ矩陣的行列式因子、不變因子的概念和聯系，會求λ矩陣的行列式因子、

不變因子

掌握兩個矩陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價，并會由此判斷兩個矩陣是

否相似

掌握λ矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子聯系，會求一個復矩陣的初等因

子

理解若當定理；掌握初等因子與若當標準形間的對應關系，會求一個復矩陣的若

當標準形，會求可逆矩陣 T，使得 T

-1AT 為若當標準形；理解最小多項式的概念，

會求最小多項式；會用最小多項式判斷一個復矩陣是否相似于對角矩陣

（九） 歐氏空間

理解內積、歐氏空間的定義、性質和常用例子；理解向量長度、夾角、單位向量、

垂直（正交）的概念；掌握 Cauchy 不等式、勾股定理；掌握度量矩陣的概念和

性質

理解正交向量組、正交基、標準正交基的概念，會用度量矩陣判斷正交基、標準

正交基；

理解正交基、標準正交基的存在性，熟練 Schmidt 正交化方法；掌握正交矩陣的

概念、性質以及正交矩陣與標準正交基的關系

理解歐氏空間的同構的概念、性質，掌握歐氏空間按同構的分類

理解正交變換的定義和性質；掌握正交變換的幾個等價條件，正交變換、標準正

交基、正交矩陣的聯系；了解兩類正交變換

理解正交子空間、正交補的概念；掌握正交子空間與直和的關系；掌握正交補的

存在唯一性及構成；了解向量在子空間上內射影的概念

熟練掌握實對稱矩陣的特征值、特征向量的性質，會求正交矩陣 T，使得 T

-1AT

為對角矩陣；了解歐氏空間中對稱變換、反對稱變換的概念和性質；掌握用特征

值判斷實對稱矩陣為正定矩陣的方法；會用實對稱矩陣的標準形去解決問題

四、考試要求

碩士研究生入學考試科目《高等代數》為閉卷，筆試，考試時間為180分鐘，

本試卷滿分為150分。試卷務必書寫清楚、符號和西文字母運用得當。答案必須

寫在答題紙上，寫在試題紙上無效。

五、主要參考教材（參考書目）

1.《高等代數》北京大學數學系王萼芳 石生明修訂，第四版，高等教育出版

社，2013年。

2. 《高等代數》姚慕生，吳泉水，謝啟鴻，第3版，復旦大學出版社，2014年。

編制單位：鄭州大學

編制日期：2020年8月

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