2022中國地質大學(武漢)數學分析研究生考研大綱及參考書目 正文

碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱
一、考試性質
　　數學分析是數學專業本科生的基礎課程之一，是數學專業研究生入學考試的必考課程。本考試大綱適用于中國地質大學研究生院數學系碩士研究生入學《數學分析》考試。它的主要目的是測試考生對數學分析各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。
二、考試的基本要求
　　要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
三、考試方法和考試時間
　　數學分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
四、考試內容和考試要求
　　1、極限和函數的連續性
　　考試主要內容
　　映射與函數；數列的極限、函數的極限；連續函數、函數的連續性和一致連續性；中的點集、實數系的連續性；函數和連續函數的各種性質。
　　考試要求
　　（1）熟練掌握數列極限與函數極限的概念；理解無窮小量的概念及基本性質。
　?。?）掌握極限的性質及四則運算性質，能夠熟練運用兩面夾原理和兩個特殊極限。
　?。?）熟練掌握實數系的基本定理：區間套定理，確界存在定理，單調有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆蓋定理，Cauchy收斂準則；并理解相互關系。
　?。?）熟練掌握函數連續性的概念及相關的不連續點類型。能夠運用函數連續的四則運算與復合運算性質以及相對應的；并理解兩者的相互關系。
　　（5）熟練掌握閉區間上連續函數的性質：有界性定理、最值定理、介值定理；了解Contor定理。
　　2、一元函數微分學
考試主要內容
微分的概念、導數的概念、微分和導數的意義；求導運算；微分運算；微分中值定理；洛必達法則、泰勒展式公式；導數的應用。
考試要求
（1）理解導數和微分的概念及其相互關系，理解導數的幾何意義和物理意義，理解函數可導性與連續性之間的關系。
（2）熟練掌握函數導數與微分的運算法則，包括高階導數的運算法則、復合函數求導法則，會求分段函數的導數。
（3）熟練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
（4）能夠用導數研究函數的單調性、極值，最值和凸凹性。
（5）掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。
3、一元函數積分學
考試主要內容
定積分的概念、性質和微積分基本定理；不定積分和定積分的計算；定積分的應用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。
考試要求
（1）理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會求初等函數、有理函數和三角有理函數的積分。
（2）掌握定積分的概念，包括Darboux和，上、下積分及可積條件與可積函數類。
（3）掌握定積分的性質，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。
（4）能用定積分表達和計算如下幾何量與物理量：
平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉體的體積與側面積，平行截面面積已知的立體體積，變力做功和物體的質量與質心。
（5）理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法；其中包括積分第二中值定理。
4、無窮級數
考試主要內容
數項級數的概念、數項級數斂散的判別法；級數的絕對收斂和條件收斂；函數項級數的收斂和一致收斂及其性質、收斂性的判別；冪級數及其性質、泰勒級數和泰勒展開。
考試要求
（1）理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質。
（2）熟練掌握正項級數斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy判別法，D‘Alembert判別法與積分判別法。
（3）熟練掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系。熟練掌握交錯級數的Leibnitz判別法。掌握絕對收斂級數的性質。
（4）熟練掌握函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法。Abel判別法、Cauchy判別法和Dirichlet判別法。
（5）掌握冪級數及其收斂半徑的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。
（6）熟練掌握冪級數的性質。能夠將函數展開為冪級數。理解余項公示。
（7）了解Fourier級數的概念與性質。
5、多元函數微分學與積分學
考試主要內容
多元函數的極限與連續、全微分和偏導數的概念、重積分的概念及其性質、重積分的計算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。
考試要求
（1）理解多元函數極限與連續性，偏導數和全微分的概念，會求多元函數的偏導數與全微分。
（2）掌握隱函數存在定理。
（3）會求多元函數極值和無條件極值，了解偏導數的幾何應用。
（4）掌握重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計算。
（5）熟練掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其應用。
6、含參變量積分
考試主要內容
含參變量積分的概念、性質。
考試要求
（1）了解含參變量常義積分的概念與性質。
（2）熟練掌握變上限積分。

中國地質大學(武漢)

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