碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

    Ⅰ考試形式和試卷結構

    一、試卷滿分及考試時間

    本試卷滿分為150分，考試時間為3小時。

    二、答題方式

    答題方式為閉卷、筆試。

    三、試卷題型結構

    1、填空題　40分

    2、計算題50分

    3、證明題60分

    II　考試范圍

    一元微積分部分

    1.會用ε—N定義證明數列極限有關問題，并會用ε—N語言正確表述數列不以某數為極限；

    2.理解收斂數列的性質，極限的唯一性、保號性及不等式性質；

    3.會用極限的四則運算法則，迫斂性定理以及單調有界定理求收斂數列的極限；

    4.理解柯西準則在極限理論中的重要意義，能用該準則判定某些簡單數列的斂散性。

    5.能運用函數極限定義證明與函數極限有關的某些命題，會給出函數不以某定數為極限的相應表述；

    6.掌握函數極限基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質及有理運算性質；

    7.理解Heine定理及Cauchy準則，初步掌握運用它們證明函數極限存在的基本思路；

    8.識記兩個重要極限，能靈活運用其求一些相關函數極限；

    9.明確函數在一點連續定義的幾種等價敘述；

    10.會熟練準確地求出一般初等函數或分段函數的間斷點并判別其類型；

    11.理解連續函數的性質，并能在相關問題的討論中正確運用這些重要性質；

    12.深刻理解初等函數的連續性，應用連續性求極限；

    13.掌握閉區間上連續函數的性質，理解其幾何意義，并能在各種有關具體問題中加以運用；

    14.利用定義法求函數在一點的導數；導數與導函數的聯系與區別，可導的充要條件，可導與連續的關系，求曲線上一點處的切線方程，用導數概念解決相關變化率的實際應用問題；

    15.熟記各類基本初等函數導數公式，綜合運用求導的法則和方法熟練計算初等函數的導數；

    16.理解函數微分的概念，用定義求簡單函數的微分，運用基本公式和微分法則求初等函數的微分；

    17.導數與微分的聯系，增量與微分的關系，用微分作近似計算；

    18.理解高階導數與高階微分概念，明確二者的聯系，會求高階導數與高階微分，理解一階微分形式的不變性并用其求復合函數的微分。

    19.利用中值定理證明有關函數微分學的命題；

    20.用洛比塔法則求不定式的極限；

    21.討論函數及曲線性態，用導數作函數圖象；

    22.求解有關最大(小)值的應用問題；

    23.用中值定理及單調性證明不等式，方程根的存在個數及分布討論。

    24.區間套、確界、覆蓋、子列等概念的理解；求點集的聚點、確界；

    25.對實數基本定理的理解和準確表述，明確其等價性；

    26.應用閉區間上連續函數的性質討論函數的有界性、最值性、證明方程根的存在性；

    27.原函數與不定積分的關系及其幾何意義；積分與微分的關系；

    28.熟記基本積分公式，用線性運算法則求不定積分；

    29.用換元積分法和分部積分法或綜合運用這幾種方法求不定積分；

    30.理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎上會用定義求簡單函數的定積分；

    31.用微積分學基本定理及牛頓——萊布尼茲公式進行有關積分的證明和計算；變限積分的求導法則及應用；

    32.用換元積分法和分布積分法計算定積分；

    33.用定積分解決某些幾何應用問題：平面圖形面積、平面曲線的弧長、一些特殊立體的體積、旋轉曲面的面積等的計算；

    34.用比較法、Cauchy法判別無窮限積分的收斂性；

    二級數部分

    1.級數斂散性的概念及收斂級數性質的理解和運用；

    2.用定義、性質及收斂的必要條件判別級數的斂散性；

    3.用比較法、比式法、根式法、積分法判別正項級數斂散性；

    4.用萊布尼茲判別法判斷交錯級數的斂散性；

    5.用Abel及Dirichlet判別法判斷某些級數的斂散性；

    6.函數列或函數項級數一致收斂的概念和性質的理解與掌握；

    7.函數項級數一致收斂性的判別；

    8.掌握一致收斂的函數列與函數項級數表示的函數的連續性、可積性、可微性，并用這些性質去解決有關問題；

    9.求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域；

    10.熟記幾個常用初等函數的冪級數展開式，并利用其將某些初等函數展開成冪級數；

    11.用冪級數的性質及逐項求導和逐項積分求某些冪級數的和函數；

    12.明確函數冪級數展開的條件及求函數冪級數展開式的一般步驟。三.多元微積分部分

    1.理解并掌握二元函數極限概念，明確重極限與累次極限的關系，能借助累次極限解決極限有關問題；說明二元函數極限不存在的常用方法的應用；

    2.理解二元函數連續的概念，會利用連續性求初等函數的極限，掌握有界閉域上連續函數的性質；

    3.深刻理解全微分和偏導數的概念及聯系，用定義討論函數的可微性；

    4.用定義求函數在指定點的偏導數；

    5.熟練運用復合函數求導法則計算各階偏導數；

    6.函數的可微、連續、偏導存在與偏導數連續之間關系；

    7.求空間曲線的切線和法平面；曲面的切平面和法線；

    8.求二元函數的極值及一些簡單的最大(小)值應用問題；

    9.求隱函數及隱函數組的導數；

    10.隱函數理論在幾何上的應用，求曲線切線、法線(法平面)、求曲面的切平面和法線；

    11.用Lagrange乘數法求條件極值；

    12.分析、論證含參量積分定義的函數的連續性，可微性或可積性；

    13.判別含參量反常積分一致收斂性；

    14.用對參量的積分、微分、極限等運算求定積分或反常積分；

    15.Γ函數及B函數的定義、關系及遞推公式的應用。

    16.熟練運用兩類曲線（曲面）積分的計算法求曲線（曲面）積分；

    17.直角坐標系下計算二重積分及二次積分交換順序；

    18.利用變量替換公式簡化二重積分計算，特別是利用極坐標變換計算二重積分；

    19.應用Green公式計算第二型曲線積分，及用第二型曲線積分計算平面圖形面積；

    20.化三重積分為累次積分，用柱面坐標和球面坐標計算三重積分；

    21.應用Gauss公式計算曲面積分。

    碩士研究生入學考試《高等代數》考試大綱

    Ⅰ考試形式和試卷結構

    一、試卷滿分及考試時間

    本試卷滿分為150分，考試時間為3小時。

    二、答題方式

    答題方式為閉卷、筆試。

    三、試卷題型結構

    1、填空題　40分

    2、計算題50分

    3、證明題60分

    II　考試范圍

    一、多項式理論

    一元多項式的整除性、帶余除法、最大公因式、互素多項式、不可約多項式、多項式的因式分解、重因式等基本概念及其性質;多項式函數;多項式的根(重根)與它的一次因式(重因式)間的關系;多項式是否有重因式的判別法;實、復系數多項式的不可約多項式的形式及標準分解式的形式;有理系數多項式的不可約判定及求整系數多項式的有理根等基本方法。

    二、行列式

    n級排列的逆序數、對換、奇偶性;n階行列式的定義、性質;行列式的子式、代數余子式及展開定理;行列式的計算方法;克萊姆法則;Vandermonde行列式。

    三、矩陣理論

    矩陣的運算及性質;矩陣的秩;矩陣的初等變換與初等矩陣;矩陣在初等變換下的標準形;矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式;行列式乘積定理;;分塊矩陣;分塊矩陣運算;矩陣和轉置、對角陣、三角陣、矩陣單位;矩陣的跡、方陣的多項式。

    四、線性方程組

    n維向量空間;n維向量組的線性相關性;n維向量組的秩、向量組的等價，矩陣的秩等基本概念及性質;Gauss消元法;線性方程組有解的判定定理;線性方程組解的結構(括齊次線性方程組的基礎解系定義、求法)。

    五、二次型

    二次型的矩陣表示;二次型的標準形與合同變換;復數域與實數域上二次型的標準形、規范形;慣性定理;實二次型、實對稱矩陣正定的充分必要條件。

    六、線性空間

    線性空間的概念；一些重要的線性空間實例，基、維數與坐標;基變換與坐標變換。

    七、線性變換

    線性映射與線性變換的概念、運算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項式、特征值與特征向量;線性變換的值域與核;特征子空間;線性變換的不變子空間;線性變換的矩陣為對角矩陣的充要條件，線性變換及矩陣的最小多項式;

    八、歐氏空間

    向量內積;歐氏空間的概念及性質，度量矩陣;向量的長度、夾角、正交、距離，柯西一布涅科夫斯基不等式;標準正交基;歐氏空間的子空間的正交補，歐氏空間的同構;歐氏空間的正交變換與對稱變換，對稱變換與實對稱矩陣用正交變換化實對稱矩陣為對角陣的方法。

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