2022年北京科技大學610單考數學碩士研究生考研大綱 正文

一、一元微積分學
1、函數、極限、連續
考試內容
函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立。
數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限。
函數連續的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。
考試要求
（1）理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系；
（2）了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；
（3）理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念；
（4）掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念；
（5）理解數列極限和函數極限（包括左極限與右極限）的概念，以及函數極限存在與左右極限之間的關系；
（6）了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法；
（7）理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系；
（8）理解函數連續性的概念（含左連續和右連續），會判別函數間斷點的類型；
（9）了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質。
2、一元函數微分學
考試內容
導數和微分的概念，導數的幾何意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線與法線，導數和微分的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數，微分形式不變性，微分中值定理，洛必達法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數圖形的描繪，函數的最大值與最小值。
考試要求
（1）理解導數的概念及可導性與連續性之間的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數的可導性和連續性之間的關系；
（2）掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則及復合函數的求導法則，會求分段函數的導數，會求反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的導數，了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數；
（3）了解微分的概念、導數與微分之間的關系以及一階微分形式不變性，會求函數的微分；
（4）理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理，掌握這三個定理的應用、了解并會用泰勒定理；
（5）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法；
（6）掌握函數單調性的判別方法，了解函數極值的概念，掌握函數極值、最大值和最小值的求法及其應用；
（7）會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點和漸近線（含水平、鉛直和斜漸近線）；
（8）會描繪函數的圖形。
3、一元函數積分學
考試內容
原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上限的函數及其導數，牛頓-萊布尼茨公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，反常（廣義）積分，定積分的應用。
考試要求
（1）理解原函數、不定積分和定積分的概念，掌握不定積分基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及其換元積分法和分部積分法；
（2）掌握定積分中值定理，理解積分上限的函數并會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式；
（3）了解廣義積分的概念，會計算廣義積分；
（4）會利用定積分計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積。
二、多元函數微積分學
1、多元函數微分學
考試內容
多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限與連續的概念，有界閉區域上多元連續函數的性質，多元函數的偏導數和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，方向導數和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，多元函數的極值和條件極值，多元函數的最大值、最小值及其簡單應用。
考試要求
（1）理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義；
（2）了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質；
（3）理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式不變性；
（4）理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法；
（5）掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數；
（6）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程；
（7）理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。
2、多元函數積分學
考試內容
二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用，兩類曲線積分的概念、性質及計算，兩類曲線積分的關系，格林公式，平面曲線積分與路徑無關的條件，兩類曲面積分的概念、性質及計算，兩類曲面積分的關系，高斯公式，曲線積分和曲面積分的應用。
考試要求
（1）理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理；
（2）掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)；
（3）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系；
（4）掌握計算兩類曲線積分的方法；
（5）掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件；
（6）了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，會用高斯公式計算曲面積分；
（7）會用重積分、曲線積分及曲面積分求平面圖形的面積、立體體積、曲面面積、弧長。
三、無窮級數
考試內容
常數項級數的收斂性與發散性的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數和P—級數及其收斂性，正項級數收斂性的判別法，交錯級數與萊布尼茨定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，函數項級數的收斂域與和函數的概念，冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域，冪級數的和函數，冪級數在其收斂區間內的性質，簡單冪級數的和函數的求法，初等函數的冪級數展開式。
考試要求
（1）理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件；
（2）掌握幾何級數與級數的收斂與發散的條件；
（3）掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法；
（4）掌握交錯級數的萊布尼茨判別法；
（5）了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與收斂的關系；
（6）了解函數項級數的收斂域及和函數的概念；
（7）理解冪級數收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法；
（8）了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和.
（9）了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件；
（10）掌握的麥克勞林展開式，會用他們將一些簡單函數簡接展開為冪級數。
四、常微分方程
考試內容
常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，全微分方程，可用簡單的變量代換求解某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數齊次線性微分方程，簡單的二階常系數非齊次線性微分方程，微分方程的簡單應用。
考試要求
（1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念；
（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法；
（3）會解齊次微分方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程；
（4）會用降階法解下列形式的微分方程：
（5）理解線性微分方程解的性質及解的結構；
（6）掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程，會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程；
（7）會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

北京科技大學

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