2021年碩士研究生入學考試自命題科目

考試大綱

考試階段：復試 科目滿分值：100

考試科目：點集拓撲學 科目代碼：

考試方式：閉卷筆試 考試時長：180分鐘

一、科目的總體要求

要求考生全面系統地掌握點集拓撲理論的基本知識，具備較強的分析問題與解決問題的能力。

二、考核內容與考核要求

《拓撲學》共包含3個部分的內容，其中，拓撲空間與連續映射（約30分）、拓撲空間運算（子空間、積空間、商空間）（約20分）、拓撲空間性質（連通性、可數性、分離性、緊致性）（約50分）。

第一部分拓撲空間與連續映射

考核內容：度量空間和連續映射拓撲空間和連續映射鄰域與鄰域系導集閉集閉包內部邊界基與子基拓撲空間中的序列

考核要求：

對度量空間、拓撲空間、開集、鄰域、映射在一點連續、連續映射、度量誘導的拓撲、可度量化空間、同胚、拓撲不變性質、鄰域系、聚點、孤立點、閉集、閉包、內點、內部、邊界點、邊界、基、子基、鄰域基、鄰域子基、序列、序列的極限點、收斂、子序列等概念要求識記，掌握它們的性質，并會應用這些性質解決問題；

（2）掌握拓撲空間的驗證方法，及一些比較特殊的拓撲空間（離散拓撲空間，平庸拓撲空間，可數補空間，有限補空間等）；

（3）理解拓撲空間的定義及有關拓撲空間的概念，拓撲空間連續映射的定義，連續映射的一些等價定義。

第二部分拓撲空間運算

考核內容：子空間有限積空間商空間

考核要求：

（1）對子空間拓撲，有限積拓撲，商拓撲、嵌入、積空間、投射、商映射、商空間、開（閉）映射的定義要求識記；

（2）理解子空間拓撲、有限積拓撲和商拓撲與原拓撲空間拓撲的關系；

（3）掌握子空間拓撲，有限積拓撲，商拓撲空間中的開集的特點與性質；

（4）會應用子空間、有限積空間、商空間的性質。

第三部分拓撲空間性質

1.連通性

考核內容：連通性的應用連通分支局部連通空間道路連通空間道路連通分支

考核要求：

（1）對連通空間、道路連通空間、局部連通空間、有限可積性質、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間等概念要求識記；

（2）理解連通子集，連續映射保持不變的性質；

（3）掌握連通空間、道路連通空間、局部連通空間、有限可積性質、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間的性質，掌握連通空間、道路連通空間、局部連通空間判定方法；

（4）會應用連通空間、道路連通空間、局部連通空間、有限可積性質、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間的性質。

2.可數性

考核內容：第一可數性公理第二可數性公理可分空間Lindeloff空間

考核要求：

（1）對可數性公理、可分空間、Lindeloff空間等概念要求識記；

（2）理解A2空間和A1空間的關系，可數性公理的可遺傳性質及有限可積性質；

（3）掌握可數性公理、可分空間、Lindeloff空間的性質；

（4）會應用可數性公理、可分空間、Lindeloff空間的性質。

3.分離性

考核內容：T0、T1、Hausdorff空間正則空間正規空間T3、T4空間Urysohn引理Tietze擴張定理完全正則空間Tychonoff空間分離性公理與子空間有限積空間和商空間可度量化空間

考核要求：

（1）對T0、T1、T2、T3、T4、正則、正規、完全正則空間、Tychonoff空間等概念要求識記解；

（2）理解Urysohn引理，Tietze擴張定理、Urysohn嵌入定理的內容及證明方法；

（3）掌握T0、T1、正則、正規、完全正則、Tychonoff空間的性質；

（4）會應用T0、T1、正則、正規、完全正則、Tychonoff空間的性質。

4.緊致性

考核內容：緊致空間緊致性與分離性公理幾種緊致性以及其間關系度量空間中的緊致性局部緊致空間

考核要求：

（1）對緊致、可數緊致、列緊、序列緊致、局部緊致空間等概念要求識記；

（2）理解緊致、可數緊致、列緊、序列緊致的性質及其相互關系；

（3）掌握緊致、緊致子集、可數緊致、列緊、序列緊致的性質，緊致空間、緊致子集、可數緊致、列緊、序列緊致空間的判別方法，緊致性和分離性公理的關系；

（4）會應用緊致、可數緊致、列緊、序列緊致的性質。

三、題型結構

考試滿分100分，其中計算題約15分，證明題約85分。

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