2021湖南理工學院數學基礎綜合研究生考試大綱 正文

2021年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱（復試）
 
復試科目名稱：數學基礎綜合
 
一、考核目標
要求考生系統地理解數學分析與高等代數概念、基本理論和基本方法。 要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力和綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。
二、試卷結構
（一）試卷成績及考試時間：滿分為100分，考試時間為120分鐘。
（二）答題方式：閉卷、筆試
（三）試卷內容及比例：數學分析部分：占60%；高等代數部分：占40%
（四）題型結構及分值：
1、單項選擇題，8小題，每小題3分，共24分；
2、填空題，6小題，每小題4分，共24分；
3、解答題與證明題，5小題，共52分。
三、考試內容
（一）數學分析部分（占60%，60分）
1、函數、極限、連續
考試內容
函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立。
數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算　極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限及其應用。
函數連續的概念，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質及其證明。
考試要求
（1）理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。
（2）了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。
（3）理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。
（4）掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。
（5）理解極限的概念。
（6）掌握極限的性質及四則運算法則。
（7）掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
（8）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。
（9）理解函數連續性的概念（含左連續與右連續）。
（10）掌握閉區間上連續函數的性質，并了解其證明。
2、一元函數微分學
考試內容
導數和微分的概念，導數的幾何意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線和法線，導數和微分的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數，一階微分形式的不變性，微分中值定理及其應用，洛必達（L’Hospital）法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數的最大值與最小值　
考試要求
（1）理解導數和微分的概念，函數的可導性與連續性之間的關系，導數與微分的關系，導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程。
（2）熟練掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。
（3）了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。
（4）會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。
（5）理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解柯西(Cauchy)中值定理。
（6）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。
（7）理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。
（8）會用導數判斷函數圖形的凹凸性
3、一元函數積分學
考試內容
原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上限的函數及其導數，牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分，定積分的應用。
考試要求
（1）理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。
（2）掌握不定積分的基本公式，不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，換元積分法與分部積分法。
（3）掌握牛頓-萊布尼茨公式，會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。
（4）理解積分上限的函數，會求它的導數。
（5）了解反常積分的概念，會計算反常積分。
（6）掌握用定積分表達和計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積。
4、多元函數微分學
考試內容
多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限與連續的概念，有界閉區域上多元連續函數的性質，多元函數的偏導數和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，方向導數和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，多元函數的極值和條件極值，多元函數的最大值、最小值及其簡單應用。
考試要求
（1）理解多元函數的概念，多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分。
（2）掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法。
（3）了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。
（4）理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。
5、多元函數積分學
考試內容
二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用，
考試要求
（1）理解二重積分與三重積分的概念及其性質，了解二重積分的中值定理。
（2）掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）。
（3）掌握三重積分的計算方法（直角坐標、柱坐標、球坐標）。
6、無窮級數
考試內容
常數項級數的收斂與發散的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數與p級數及其收斂性，正項級數收斂性的判別法，交錯級數與萊布尼茨定理，冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域　冪級數的和函數，簡單冪級數的和函數的求法，初等函數的冪級數展開式。
考試要求
（1）理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。
（2）掌握幾何級數與p級數的收斂與發散的條件。
（3）掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法和柯西（Cauchy）積分判別法。
（4）掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。
（5）理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法。
（6）了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。
（7）掌握e^x，sinx，ln(1+x)，及(1+x) ^a的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數。
（二）高等代數 （占40%，40分）
   1、多項式
考試內容
數域，一元多項式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項式函數，復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式。
考試要求
（1）掌握數域的定義，理解數域P上一元多項式的定義，次數，一元多項式環等概念，掌握多項式的運算及運算律。
（2）理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質。
（3）理解和掌握兩個（或若干個）多項式的最大公因式，互素等概念及性質。能用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式。
（4）掌握不可約多項式的定義及性質。了解因式分解定理。
掌握多項式函數的概念，余數定理，多項式的根及性質。理解代數基本定理。熟練掌握復（實）系數多項式分解定理及標準分解式。
2、行列式
考試內容
排列，n階行列式的定義，n階行列式的性質，n階行列式的展開，行列式的計算，克拉默(Cramer)法則，行列式的乘法規則。
    考試要求
（1）掌握排列、逆序數、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對換的關系。
（2）掌握行列式的基本性質，理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質計算一些簡單行列式。
（3）理解元素的余子式、代數余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。
（4）掌握克拉默(Cramer)法則，
    3、線性方程組
考試內容
消元法，n維向量空間，線性相關性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構。
考試要求
（1）掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質。掌握階梯形方程組的特征及作用。會求線性方程組的一般解。
（2）掌握n維向量及兩個n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運算規律和性質。
（3）理解線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質。掌握兩個向量組等價的定義及等價性質定理。理解向量組的極大無關組、秩的定義，并會求向量組的一個極大無關組。
（4）掌握矩陣的行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關系。
（5）掌握線性方程組的有解判別定理，掌握線性方程組的公式解。
（6）理解齊次線性方程組的基礎解系。掌握基礎解系的求法、線性方程組的結構定理。并對有解的一般線性方程組，會求其全部解。
4、矩陣
考試內容
矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應用。
考試要求
（1）掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置等運算及其計算規律。
（2）掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。
（3）掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣。
（4）理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質。
（5）掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關系，掌握一個矩陣的等價標準形和矩陣可逆的充要條件；會用初等變換的方法求一個方陣的逆矩陣。
（6）理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關系，會求分塊矩陣的逆。
5、二次型
考試內容
二次型的矩陣表示，標準型，正定（半正定）二次型。
考試要求
（1）正確理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及二次型與對稱矩陣的一一對應關系，掌握矩陣的合同概念及性質。
（2）理解二次型的標準形，掌握化二次型為標準形的兩種基本方法。
（3）理解復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性，了解符號差、慣性指數等概念，理解正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價條件。
   6、線性變換
考試內容
線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核。
考試要求
（1）掌握線性變換的定義及性質，線性變換的運算及運算規律，理解線性變換的多項式。
（2）掌握線性變換與矩陣的聯系，矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質。
（3）理解矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念和性質，會求一個矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項式的關系及哈密頓-凱萊定理。
    7、歐幾里德空間
考試內容
定義與基本性質，標準正交基，同構，正交變換，子空間，實對稱矩陣的相似標準形，向量到子空間的距離。
考試要求
（1）理解歐氏空間的定義及性質，內積的本質，掌握向量的長度，兩個向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質，各種概念之間的聯系和區別。
（2）理解正交向量組、標準正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關的向量化為單位正交的向量。
（3）理解正交變換的概念及幾個等價關系，掌握正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系。
（4）理解兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關系，及有限維歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質。
（5）掌握任一個實對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，求正交陣的方法，能用正交變換化實二次型為標準型。
 
 
參考文獻
[1] 華東師范大學數學系. 數學分析（上、下冊）[M]. 北京：高等教育出版社，2012.
[2] 劉玉璉，傅沛仁. 數學分析講義(上、下冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
[3] 北京大學數學系前代數小組. 高等代數[M]. 北京：高等教育出版社，2013.
[4] 張禾瑞，郝鈵新. 高等代數[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

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本文來源：http://m.btfokj.cn/hnist/cankaoshumu_409179.html