2021湖南理工學院數學分析研究生考試大綱 正文

2021年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱
 
考試科目代碼:[601]         
考試科目名稱: 數學分析
一、考核目標
（一）考查考生對數學分析的基本概念、基本理論、基本內容、基本方法和基本思想的掌握程度。
（二）考查考生運用數學分析理論知識分析和解決實際問題的能力。
二、試卷結構
（一）考試時間：180分鐘，滿分：150分
（二）題型結構
解答題（包括證明題）10小題，每小題15分，共150分
三、 答題方式
答題方式為閉卷 筆試
四、考試內容與考試要求
1、極限論
考試內容
①  各種極限的計算； ② 單調有界收斂原理、致密性定理、確界原理、Cauchy收斂原理等實數基本理論的靈活應用； ③ 連續函數特別是閉區間上連續函數性質的運用； ④ 極限定義的熟練掌握等.
考試要求
（1）能熟練計算各種極限，包括單變量和多變量情形.
（2）能熟練利用六個實數基本定理尤其是單調有界收斂原理、致密性定理、確界原理、Cauchy收斂原理進行各種理論證明．
（3）能熟練掌握單變量連續函數特別是閉區間上連續函數的各種性質，并能利用這些性質進行計算和證明；掌握多變量連續函數的性質尤其是有界閉域上連續函數的性質，能利用這些性質進行計算和證明．
（4）熟練掌握各種極限的定義，并能用邏輯術語進行理論證明.
2、單變量微分學
考試內容
    微分中值定理（包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等）
的靈活運用（包括單調性討論、極值的求取、凸凹性問題、等式和不等式的證明等）； ② Talor公式的靈活運用（包括用Lagrange余項形式證不等式、用Peano余項形式估計階以及求極限等）；③ 各種形式導數的計算； ④ 導數的定義和運用等.
考試要求
（1）熟練掌握微分中值定理，包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的條件和結論，能熟練利用這些定理進行理論證明或計算，包括函數單調性討論、極值的求取、凸凹性問題的討論、等式和不等式的證明等．
（2） 熟練掌握Talor公式的條件和結論，并能做到靈活運用，尤其是利用Lagrange余項形式證不等式、Peano余項形式估計階以及求極限等.
（3）熟練掌握復合函數導數的計算和高階導數的計算．
（4）熟練掌握導數的定義和性質，能用邏輯語言進行理論證明，熟練掌握利用導數定義進行證明或計算.
3、單變量積分學
考試內容
    各種不定積分和定積分的熟練計算，尤其是計算中的處理技巧；② 廣義
積分的計算和斂散性判別； ③ 定積分的定義和性質的靈活運用等.
考試要求
（1）熟練計算各種不定積分、定積分，熟練掌握湊微分法、換元法、分部積分法以及常用的計算技巧，熟練掌握奇偶函數、周期函數的積分特點．
 （2）熟練掌握廣義積分的計算，熟練掌握區間無限型、函數無界型以及混合型廣義積分的斂散性判別，并能進行理論證明．
 （3）熟練掌握定積分的定義，能利用定積分的定義進行極限的計算，熟練掌握定積分的性質，并能利用這些性質進行理論證明，掌握常用可積函數類．
4、級數論
考試內容
 各種數項級數尤其是正項級數的斂散性判別；② 數項級數的性質；③ 函數列和函數項級數的一致收斂性判別，給定函數Fourier級數的展開和特殊點的收斂性；④函數列和函數項級數一致收斂性質的靈活運用 ；⑤冪級數的收斂性和展開等知識的熟練掌握.
考試要求
（1）熟練掌握級數的斂散性判別，尤其是正項級數和交錯級數斂散性判別.
（2）掌握數項級數的一些常用性質，尤其是絕對收斂級數與條件收斂結束的常規性質.
（3）熟練掌握函數列和函數項級數一致收斂性的判別，尤其是用定義、優級數判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法判別函數項級數的一致收斂性，熟練掌握給定函數的Fourier展開，能給出Fourier級數在特殊點的收斂性.
（4）熟練掌握函數列和函數項級數一致收斂性的性質運用，包括連續性、可積性和可微性，能利用這些性質進行理論證明.
（5）熟練掌握冪級數收斂區間的求法，熟練掌握常規函數的冪級數展開，并掌握一些特殊冪級數和函數的求法.
5、多變量微分學和參變量積分
考試內容
① 可微的定義； ② 求復合函數以及隱函數的偏導數； ③  多元函數極值理論； ④ 參變量積分的一致收斂性判別； ⑤  參變量積分的計算； ⑥ 參變量積分一致收斂性質的運用等.
考試要求
（1）掌握多元函數可微的定義，能熟練利用定義證明某些常規函數的可微性，掌握多元函數可微、連續、可求偏導之間的關系.
（2）熟練掌握多元函數復合函數求偏導數尤其是高階偏導數，掌握方程或方程組確定的隱函數偏導的計算.
（3）熟練掌握多元函數極值的計算，并能計算有界閉域上連續函數的最值..
（4）熟練掌握含參變量廣義積分一致收斂性的判別.
（5）熟練掌握含參變量常義積分和廣義積分的計算.
（6）熟練掌握含參變量常義積分和廣義積分的連續性、可積性和可導性，并能利用這些性質進行計算和證明.
6、多元積分學
考試內容
①二重積分、三重積分的計算； ② 格林公式、高斯公式的靈活運用；③兩類曲線積分、兩類曲面積分的計算；④ 各種積分之間的相互關系等
考試要求
（1）熟練掌握二重積分、三重積分的計算，熟練掌握降維、換元法，尤其是極坐標、球坐標變換.
（2）熟練掌握Green公式、Gauss公式的條件和結論.
（3）熟練掌握第一類和第二類曲線積分和曲面積分的計算.
（4）掌握平面曲線積分與路徑無關的條件，熟練掌握利用Green公式求第二類曲線積分、利用Gauss公式求第二類曲面積分、利用Stokes公式求空間第二類曲線積分..
五、主要參考書目
[1] 華東師范大學數學系編.  數學分析 高等教育出版社, 2001
[2] 裴禮文編. 數學分析中的典型問題和方法. 高等教育出版社，2006
 
 

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