2021遼寧大學數學分析專業研究生考試大綱 正文

《數學分析》考試大綱

1.實數集與函數
1.1 掌握實數概念及其基本性質。掌握實數絕對值的概念和有關的不等式。
1.2 掌握鄰域概念, 掌握確界定理。
1.3 掌握函數的概念及各種表示方法,掌握復合函數和反函數的概念。
1.4 掌握有界函數與無界函數、單調函數、奇函數和偶函數、周期函數等概念。
1.5 掌握六類基本初等函數的定義和性質。
1.6 掌握常用的幾個非初等函數，如符號函數，狄利克雷函數等。
2. 數列極限
2.1 掌握數列極限的的定義, 會使用“語言”證明數列的極限。
2.2 正確理解和掌握收斂數列的性質。
2.3 掌握單調有界原理,致密性定理及Cauchy收斂準則。
3. 函數極限
3.1 掌握函數極限的和定義。
3.2 掌握函數極限的性質。
3.3 掌握函數極限存在的條件, 掌握歸結原則及柯西準則。
3.4 掌握重要極限  和  及其應用。
3.5 正確理解和掌握無窮大和無窮小的概念及無窮小的階。
4. 函數的連續性
4.1 掌握連續函數的概念, 掌握間斷點及其分類。
4.2 掌握連續函數的局部性質,掌握閉區間上連續函數的性質。
4.3 掌握反函數的連續性,掌握函數的一致連續性。
4.4 掌握初等函數在其定義域上的連續性。
5. 導數與微分
5.1 掌握導數的概念及其幾何意義。
5.2 掌握求導法則,掌握參變量函數的導數法則, 掌握高階導數的求法。          
5.3 掌握微分的概念及其幾何意義。
5.4 掌握微分的運算法則,了解高階微分,了解微分在近似計算中的應用。
6. 微分中值定理及其應用
6.1 熟練掌握中值定理的條件、結論和證明方法。
6.2 掌握不定式極限的求法,熟練掌握洛必達法則及其應用。
6.3 掌握泰勒公式，掌握用多項式逼近函數的思想。
6.4 會分析函數的性態,會求函數的單調區間和極值，會判斷函數的凸性和拐點,
會較完善地作出函數的圖形。
7. 實數的完備性
7.1 理解區間套概念，能熟練使用區間套定理。
7.2 掌握聚點概念及各種等價定義，能熟練使用聚點定理。
7.3 理解（開）覆蓋的定義并且會用集合術語表達，體會如何構造開覆蓋并且會用開覆蓋定理。
7.4 知曉實數完備性的六種等價說法及其證明。
8. 原函數與不定積分
8.1 掌握原函數定義及唯一性（不計常數）。
8.2 掌握不定積分的定義、性質。
8.3 熟練使用換元公式和分部積分公式。
8.4 了解有理函數不定積分的計算方法。
8.5 了解某些其它類型不定積分的計算方法。
9. 定積分（Riemann積分）
9.1 深入理解定積分概念及其產生背景。
9.2 熟練掌握可積性的判別準則及可積函數類。
9.3 熟練掌握定積分的性質及積分中值定理。
9.4 重點掌握微積分學基本定理和Newton-Leibniz公式。
9.5 熟練使用定積分工具解決幾何、物理和學科的問題。
10. 反常積分
10.1 深入理解反常積分概念及其產生背景。
10.2 熟練使用反常積分的收斂判別法。
11. 數項級數
11.1 深入理解數項級數的概念及其產生背景。
11.2 直觀理解絕對收斂和條件收斂概念。
11.3 熟練使用正項級數和一般項級數的收斂判別法。
12. 函數列、函數項級數和冪級數
12.1 深入理解逐點收斂和一致收斂概念，重點在一致收斂。
12.2 熟練使用一致收斂的Cauchy準則及收斂判別法。
12.3 掌握一致收斂函數列（函數項級數）之極限函數（和函數）的分析性質，即連續性、可積性、可微性。
12.4 能熟練求出一個冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域。
12.5 熟知冪級數在其收斂區間上的性質(內閉一致收斂性、連續性、逐項可積和逐項可導性）。
12.6 掌握將光滑函數展為冪級數的基本方法。
13. 傅里葉（Fourier）級數
13.1 深入理解傅里葉級數及其產生的物理背景。
13.2 會做一個可積函數的傅里葉級數。
13.3 掌握三角函數系的正交性、Bessel不等式和Riemann-Lebesgue引理。
13.4 了解有關傅里葉級數收斂性的一些結果。
14. 多元函數的極限與連續
14.1 掌握平面點集的一些概念: 鄰域、內點、界點、聚點、區域、閉區域、有界區域、無界區域等。
14.2 掌握二元函數和二元函數極限的定義,弄清二重極限與累次極限的區別及其聯系。
14.3 掌握二元連續函數的定義以及性質。
15. 多元函數微分學
15.1 理解可微性的條件、幾何意義及應用。
15.2 熟練計算偏導數和高階偏導數。
15.3 復合函數微分法,包括復合函數的求導法則及復合函數的全微分。
15.4 了解方向導數與梯度的定義。
15.5 會運用泰勒公式解決極值問題。
16. 隱函數定理及其應用
16.1 理解隱函數的概念及存在性的條件。
16.2 了解隱函數組的概念及定理并掌握幾何運用。
16.3 掌握條件極值的求法。
17.含參變量的積分
17.1 掌握含參量正常積分及反正常積分。
17.2 掌握一致收斂的判別法。
17.3 理解歐拉積分并會應用。
18. 重積分
18.1 掌握二重積分的概念，理解二重積分的可積函數類與性質。
18.2 掌握二重積分的計算，掌握二重積分的變量變換和二重積分的應用。
18.3 掌握三重積分的概念。
18.4 掌握三重積分的計算，掌握三重積分的變量變換和應用。
19. 曲線積分與曲面積分
19.1 正確理解第一型曲線積分和第二型曲線積分的概念。
19.2 掌握第一型曲線積分和第二型曲線積分的計算。
19.3 會運用格林公式和積分與路徑無關的條件解決問題。
19.4 正確理解第一型曲面積分和第二型曲面積分的概念。
19.5 掌握第一型曲面積分和第二型曲面積分的計算。
19.6 會運用高斯公式和斯托克斯公式。
19.7 了解場的概念和各種場。

遼寧大學

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