2021遼寧大學高等代數專業研究生考試大綱 正文

《高等代數》考試大綱
1. 行列式
1.1了解排列的概念及性質。
1.2 熟練掌握行列式的概念、性質。
1.3 掌握行列式的計算方法。
1.4 熟悉克拉姆法則。
1.5 對矩陣及矩陣的初等變換有初步的了解。
2. 線性方程組
2.1 掌握維向量及維向量空間的概念，熟練掌握向量的運算。
2.2 熟練掌握向量組的線性相關性，理解向量組的極大無關組。
2.3 深刻理解向量組的秩和矩陣的秩的定義，掌握矩陣秩的計算方法。
2.4 熟練掌握線性方程組的有解判別定理。
2.5 正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎解系的概念和計算方法，熟練掌握線
    性方程組的解的結構定理，會求解線性方程組。
3. 矩陣
3.1 了解矩陣概念的一些背景。
3.2 熟練掌握矩陣的運算及運算律。
3.3 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。
3.4 深入理解矩陣可逆、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握方陣可逆的充要條，會
    用公式法求矩陣的逆矩陣。
3.5 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的運算及性質。
3.6 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換的概念及它們的關系，熟練掌握利用初等變換方法求矩陣的逆矩陣。
3.7 了解分塊乘法的初等變換，會將矩陣分塊與初等變換結合進行矩陣運算。
4. 二次型
4.1正確理解二次型非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示，掌握矩陣合同的概念與性質。
4.2 掌握化二次型為標準形的方法。
4.3 深刻理解對稱矩陣與二次型的關系，掌握對稱矩陣的性質。
4.4 掌握慣性定理，熟練掌握正定二次型的等價條件。
4.5 掌握半正定二次型的等價條件。
5. 線性空間
5.1 掌握集合與映射的相關概念。
5.2 熟練掌握線性空間及其基于維數等相關概念。
5.3 會求線性空間的基與維數。
5.4 掌握基變換與坐標變換的公式，。
5.5 熟練掌握線性子空間的概念及其判定方法。
5.6 掌握子空間的交與和的定義及性質，熟練掌握維數公式。
5.7 深刻理解子空間的直和的概念，掌握判定直和的充要條件。
5.8 理解并掌握線性空間同構的定義、性質及有限維空間同構的充要條件。
6. 線性變換
6.1 理解并掌握線性變換的定義及性質。
6.2 掌握線性變換的運算及運算律，理解線性變換的多項式。
6.3 掌握線性變換與矩陣的關系，掌握矩陣相似的概念及性質。
6.4 理解并掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項式、特征值的代數重數與幾何重數等概念及性質，會求矩陣的特征值和特征向量，掌握哈密爾頓-凱萊定理。
6.5 掌握線性變換的值域與核的概念及相關理論。
6.6 了解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系。
7. 歐幾里得空間
7.1 深刻理解并掌握歐幾里得空間的基本概念和理論。
7.2 掌握向量的內積和向量的度量性質。
7.3 正確理解正交向量組、標準正交基的概念，掌握施密特正交化方法。
7.4 理解并掌握正交變換的概念與等價條件，掌握正交變換與向量長度、標準正交基以及正交矩陣的關系。
7.5 理解兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關系。
7.6 熟練掌握實對稱矩陣的進一步性質。
8. 多項式
8.1 了解多項式的定義與基本運算。
8.2 掌握多項式整除的概念、性質與帶余除法。
8.3 掌握最大公因式的概念、存在性與求法,掌握多項式互素的概念與相關性質。
8.4 掌握不可約多項式的概念、性質。
8.5 了解因式分解定理以及復系數與實系數多項式的因式分解定理。
8.6 了解重因式的概念以及多項式有重因式的充要條件。
8.7 了解多項式函數的概念、余數定理、代數基本定理。
8.8 掌握求有理系數多項式的全部有理根的方法以及Eisenstein判別法。
9. 矩陣
9.1 了解矩陣的定義、矩陣的初等變換、矩陣的標準形以及矩陣
的行列式因子、不變因子等概念，了解矩陣等價的充要條件,掌握用初
等變換將矩陣化為標準形的方法。
9.2掌握矩陣初等因子的概念、求法以及數字矩陣相似的充要條件，掌握矩陣相
似于對角形矩陣的等價條件。
9.3 了解矩陣的Jordan標準形以及有理標準形的概念，掌握矩陣的Jordan標準
    形的求法，了解矩陣有理標準形的求法。

遼寧大學

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