南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

    考試大綱

    科目代碼：F02

    科目名稱：數學專業基礎綜合

    第一部分目標與基本要求

    一、目標

    “數學專業基礎綜合”課程包括常微分方程和數值分析兩部分，這兩部分是基礎數學、計算數學、應用數學和統計學的重要基礎課程。通過這兩門課程的學習，學生能系統地掌握有關常微分方程的基本理論和求解常微分方程的各種方法，數值分析的基本理論、方法，各種經典算法及其應用，并為后繼的各數學分支的深入研究打下堅實的基礎。

    二、基本要求

    “數學專業基礎綜合”課程考試的主要內容為常微分方程的基本理論及各類常微分方程的求解方法、數值分析的的基本理論、方法，(非)線性方程組的數值方法、數值微分與數值積分及特征值的數值方法等。同時要求考生了解常微分方程的穩定性理論、掌握矩陣分析基礎，熟悉各種算法的優劣，熟悉各種算法及其應用。

    第二部分內容與考核目標

    一、常微分方程部分：

    1、初等積分法

    (1)了解常微分方程產生的背景，它與數學分析和高等代數課程之間的關系，了解線性

    方程和非線性方程的判別；

    (2)了解變量分量分離方程、齊次方程相關概念；

    (3)了解一階線性方程的相關定義,如齊次方程、非齊次方程、齊次項和非齊次項等，了

    解Bernoulli方程的概念；

    (4)了解全微分方程、積分因子的概念；

    (5)了解一階隱式方程的定義,一階隱式方程的四種類型,高階方程的定義;

    (6)理解常微分方程相關概念：常微分方程，解、特解與通解，初始條件，積分曲線等

    (7)理解初等積分法的內涵，即利用不定積分求微分方程的解；理解微分形式的變量分

    離方程

    (8)理解Bernoulli方程的解法，一階線性方程初始問題的求解公式；

    (9)理解全微分方程求解思想，即利用二元函數微分理論，求二元函數微分的原函數；

    積分因子的不唯一性；

    (10)理解一階隱式方程與顯示方程的不同之處,一階隱式方程的求解難點,高階方程的

    求解難點;

    (11)掌握變量分離方程的解法；

    (12)掌握一階線性齊次方程的解法，常數變易法，一階線性非齊次方程的解法；

    (13)掌握全微分方程的解法，全微分方程的判斷，特殊積分因子的求法；

    (14)掌握四種類型的一階隱式方程的求解方法,高階方程的降階法(不顯含自變量的高階

    方程,恰當導數方程)。

    2、基本定理

    (1)了解解的存在與唯一性定理的條件和結論，解的存在區間，Picard逐步逼近法等概

    念；

    (2)了解局部Lipschitz條件的概念，函數是否滿足局部Lipschitz條件的驗證，局部

    Lipschitz條件在解的延展過程中的作用，解對初值的連續依賴性和可微性；

    (3)理解Lipschitz條件的概念，函數是否滿足Lipschitz條件的驗證；Lipschitz條件在

    存在唯一性定理證明中的作用；

    (4)理解飽和解、最大存在區間的概念，解的延展過程，飽和解的存在區間與解的漸近

    的關系；

    (5)掌握解的存在與唯一性定理的證明，Picard解序列的構造及收斂性的證明，利用

    Picard逐步逼近法求近似解。

    (6)掌握比較原理和解的延展定理及其證明，初值對解的存在區間的影響。

    3、一階線性微分方程組

    (1)了解線性微分方程組的有關概念(系數矩陣、向量值函數、方程組的初始問題)、方

    程組解的存在唯一性定理及證明思路；

    (2)了解常系數線性微分方程組的系數矩陣的特征方程、特征根、特征向量，特征根、

    特征向量與解的關系；

    (3)理解向量值函數線性相關、線性無關的概念，Wronsky行列式的概念，基本解組的

    概念，基本解的Wronsky行列式的性質，Liouville公式；

    (4)理解利用系數矩陣的特征根、特征向量求常系數線性微分方程組的基本解組的方

    法；

    (5)掌握線性（齊次、非齊次）微分方程組解的結構，通解基本定理，常數變易法；向

    量值函數線性相關、線性無關的判斷。

    (6)掌握常系數線性微分方程組的解法。

    4、n階線性微分方程

    (1)了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理，函數組線性相關、線性無關，函數組

    的Wronsky行列式等概念；

    (2)了解n階常系數線性齊次微分方程的特征方程、特征根；由特征根確定微分方程的

    解；

    (3)了解非齊次項的概念，利用常數變易法求特解的方法；

    (4)了解質點運動方程的物理意義，振動、無阻尼自由振動、阻尼自由振動、無阻尼強

    迫振動、阻尼強迫振動等概念；

    (5)了解Laplace變換及其在微分方程初值問題求解問題中的應用；

    (6)理解n階線性微分方程與n維線性方程組之間的關系，即對任意一個n階線性微分

    方程，可將其化為一個n維線性方程組，且他們的解是等價的，基本解組，Liouville公式；

    (7)理解由復特征根如何確定微分方程解的方法；

    (8)理解比較系數法與常數變易法的差異；

    (9)理解微分方程的解與振動之間的聯系，共振概念；

    (10)理解冪級數解法大意；

    (11)掌握函數組線性相關、線性無關的證明方法，n階（齊次、非齊次）線性微分方程

    的通解結構定理的證明；

    (12)掌握n階常系數線性齊次微分方程的解法；

    (13)掌握第一類型、第二類型n階常系數線性非齊次微分方程的解法；

    (14)掌握通過求二階常系數線性方程的通解探討力學問題中振動現象的方法，阻尼項

    和強迫項對振動的影響；

    (15)掌握的相關定理及其在微分方程初值問題求解問題中的應用。

    5、定性、穩定性理論簡介

    (1)了解穩定性相關概念

    (2)理解簡單的李雅普諾夫函數的構造方法，正定函數、負定函數的定義；

    (3)掌握李雅普諾夫函數的定義，通過構造簡單的李雅普諾夫函數，利用相關定理，判

    斷零解的穩定性。

    二、數值分析部分

    1、緒論

    (1)了解計算機算法的特性；

    (2)理解誤差的定性分析與避免誤差的危害、數值運算的誤差估計、算法的數值穩定性；

    (3)掌握誤差的來源與分類、誤差與有效數字；

    2、矩陣分析基礎

    (1)建立線性空間、賦范線性空間、內積空間的概念；

    (2)掌握向量和矩陣的范數、向量和矩陣序列的極限；

    (3)掌握內積空間中的正交系、矩陣的三角分解、正交分解、奇異值分解；

    (4)施密特(Schmidt)正交化過程、正交多項式；

    3、數值逼近

    (1)了解上述幾種常用插值法的優缺點，并能夠根據實際問題選擇適當的插值方法進行

    函數逼近；

    (2)了解三角多項式逼近及快速傅立葉變換；

    (3)理解插值法的基本原理；掌握用拉格朗日插值公式、牛頓插值公式進行插值的方法；

    (4)理解函數逼近、有理逼近的概念；

    (5)掌握分段低次插值、樣條插值、埃爾米特插值及其插值余項和誤差估計方法；

    (6)掌握最佳平方逼近方法、曲線擬合的最小二乘法；對于給定的一組數據，能夠根據

    最小二乘原理在某一函數類中選擇函數，與其所給數據組擬合來解決一些實際問題

    4、線性方程組的數值解法

    (1)了解研究求解線性方程組的數值方法分類及直接法的應用范圍；

    (2)了解極小化方法：最速下降法、共軛梯度法；

    (3)掌握線性方程組的直接解法——高斯主元消去法、LU三角分解法、平方根法、追

    趕法與三對角方程組的解法；

    (4)理解矩陣的譜半徑、矩陣的條件數等概念，并能利用條件數判別方程組是否病態以

    及對方程組的直接方法的誤差進行估計；

    (5)掌握線性方程組的經典迭代方法——雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法及SOR

    方法的計算分量形式、矩陣形式以及迭代法的收斂性判定方法；

    (6)掌握線性方程組的Krylov子空間方法。

    5、非線性方程組求根

    (1)了解求解非線性方程和非線性方程組的常用數值方法；

    (2)理解迭代法的基本原理、迭代過程的收斂性及收斂速度；迭代過程的加速原理；

    (3)掌握求解非線性方程組的不動點迭代法、牛頓法及其收斂性；

    6、數值積分與數值微分

    (1)了解數值微分方法的基本思想；高斯-勒讓德等求積公式、多重積分、數值微分公

    式；

    (2)理解數值積分公式的一般形式及導出方法、理解自適應積分方法；比較牛頓-柯

    特斯求積公式與高斯求積公式的異同點；龍貝格算法；

    (3)掌握代數精度的概念、插值型的求積公式、幾種低階求積公式及余項使用

    7、矩陣特征值問題

    (1)了解特征值的估計、正交變換的Givens和Householder變換、矩陣的QR法分解；

    (2)理解冪法和反冪法的原理和解決的對象及其加速方法,矩陣的QR法分解的原理和

    變形和同時過程；

    (3)掌握冪法和反冪法和基本的QR法。

    第三部分有關說明與實施要求

    1、基本要求：掌握統計學基本概念，理解考試范圍內的各種常微分方程與數值分析的基本理論、方法，掌握各種算法及其應用；掌握算法的基本原理和理論基礎。

    2、命題說明：

    (1)分值比例：試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。試卷內容包括：數值分析75分；常微分方程75分。

    (2)題型分布：簡答題，約40%；計算、證明題，約60%。

    3、參考書目:

    (1)東北師范大學微分方程教研室.常微分方程.北京：高等教育出版社，2005.

    (2)李慶楊.數值分析.北京：清華大學出版社，2008.

    4、其他規定：考試方式為閉卷筆試，總分150分，考試時間為180分鐘。

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