初試自命題考試大綱

    科目名稱數學分析科目代碼601

    一、考試范圍及要點

    1、變量，函數，極限，連續

    理解函數的概念，掌握函數的幾何特性，理解復合函數，反函數，掌握基本初等函數的性質及圖形。理解數列極限的定義，會利用定義來證明數列的極限。掌握數列極限的性質，了解有界數列的定義，掌握數列極限的運算，掌握單調有界數列的定義，了解極限存在的判別法（單調有界數列比有極限）。了解無窮大量和無窮小量無窮小量的階的定義，了解無窮大量和無窮小量的幾何意義。掌握無窮大量和無窮小量的關系和一些運算法則。理解函數在一點的極限的定義及其幾何意義，掌握函數極限的性質和運算法則。掌握函數極限和數列極限之間的關系。理解單側極限的定義（左極限、右極限），掌握函數在無窮遠處極限和函數值趨于無窮大時極限的定義（正無限遠和負無限遠），掌握兩個常用的不等式和兩個重要的極限（夾逼準則和單調有界準則），會用兩個極限求極限。掌握函數在一點連續的定義（連續、左連續、右連續），理解連續函數的性質和運算，了解初等函數的連續性，了解不連續點的定義，會判斷函數的間斷點及其類型（第一類、第二類和可移），了解閉區間上連續函數的性質（有界性、具有最大最小值、零點存在定理），掌握函數一致連續的定義及其幾何意義，會利用定義證明函數的一致連續性。理解子列、上確界和下確界的定義，并會求數列的上下確界。掌握實數的基本定理（區間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理），了解閉區間上連續函數性質的證明。

    2、單變量微分學

    理解導數和微分的定義及幾何意義，了解函數的可導性與連續性之間的關系。會利用定義求簡單函數的導數，掌握簡單函數的導數公式和求導法則（和差運算、數乘運算、乘積運算、相除運算），掌握反函數和復合函數的求導法，了解對數函數求導法。了解微分的運算法則和一階形式不變性，理解高階導數與高階微分的定義，會求隱函數及參數方程所表示的函數的一階和高階導數，了解不可導函數的形式，掌握高階導數的運算法則。理解并會運用微分學的基本定理（費爾馬定理，拉格朗日定理，柯希定理），會利用導數作近似計算，掌握泰勒公式，會求函數在給定點的泰勒展開式。掌握函數的極大值與極小值，最大值和最小值，凸性和函數的升降，掌握用導數判斷函數的單調性和求極值的方法。掌握漸近線的求法（水平、垂直和斜漸近線）。根據導數判斷所給函數的上升與下降，凸性和極值，并出函數的圖形。知道什么是曲線的曲率，弧長的微分，掌握曲率的計算，了解待定型（及待定型），掌握求待定型的方法（洛必達法則），會求方程的近似解。

    3、單變量積分學

    理解不定積分和定積分的定義及性質，掌握不定積分的基本公式與運算法則，會計算不定積分（“湊”微分法、換元積分法、分部積分法、有理函數積分法），會求簡單的有理函數的積分，掌握其他類型的積分法。掌握定積分存在的充分必要條件（第一充要條件、第二充要條件），了解可積函數類，掌握定積分的計算――基本公式（牛頓－萊布尼茲公式）、換元公式、分部積分公式，會利用定積分來求和式的極限。了解橢圓積分（第一類、第二類、第三類）。掌握定積分的應用和近似計算，會計算平面圖形的面積，曲線的弧長，體積，旋轉曲面的面積，質心，平均值，功。知道廣義積分分為無限區間上的廣義積分和無界函數的積分兩種，了解無窮限廣義積分和無界函數廣義積分的概念，會利用定義來求這兩類廣義積分。了解無窮限廣義積分和級數之間的關系，掌握這兩類積分收斂的判別法（比較判別發、柯希判別法及其極限形式），會證明廣義積分的斂散性，了解什么是柯西主值，會求廣義積分的柯西主值。

    4、數項級數，函數項級數，冪級數

    理解上極限和下極限的概念以及上下極限和極限的關系。理解無窮級數和級數收斂的定義，了解收斂級數的一些基本性質，掌握柯西收斂原理，會利用柯西收斂原理判別級數的收斂性。理解正項級數的定義，掌握正相級數收斂的基本定理和判別法（比較判別發、柯西判別法、達朗貝爾判別法及其極限形式），了解柯西積分判別法，并會利用這些判別法來證明正項級數的斂散性。理解絕對收斂和條件收斂的定義及其之間的關系。掌握交錯級數的萊布尼茲定理，掌握阿貝爾判別法和狄立克萊判別法，并會利用他們來判斷任意項級數的斂散性。了解絕對收斂級數和條件收斂級數的性質。理解函數項級數的概念，掌握一致收斂的定義及一致收斂級數的幾何意義，會判斷函數列的一致收斂性，理解一致收斂級數的性質（和的連續性、逐項求導、逐項求積），掌握一致收斂級數的判別法（魏爾斯特拉斯判別法、狄尼定理、狄立克萊判別法、阿貝爾判別法），會討論函數項級數的斂散性。理解冪級數的定義及性質，會求冪級數的收斂半徑，了解函數的冪級數展開，并會對簡單的函數進行冪級數展開，了解魏爾斯特拉斯逼近定理。理解富里埃級數的定義和形式，掌握黎曼引理，了解富里埃級數的一些性質，理解狄尼定理及其推論，掌握lipschitz判別法，掌握函數的富里埃級數展開，會將簡單函數展開為富里埃級數（正弦級數和余弦級數）。了解周期為T的函數的富里埃級數展開，知道富里埃級數的復數形式，了解富里埃變換和富里埃逆變換的概念，掌握富里埃變換的一些性質（線性、平移、導數、復數），會求函數的富里埃變換。

    5、多元函數的極限論

    掌握平面點集上的有關定義（鄰域，點列的極限，開集，閉集，區域，內點，外點、聚點），了解平面點集的幾個基本定理（矩形套定理、致密性定理、有限覆蓋定理、收斂原理），理解多元函數的概念（二元函數），理解二元函數極限和連續性的定義，了解有界閉區域上連續函數的性質（有界性定理、一致連續性定理、最大值最小值定理、零點存在定理），掌握二重極限和二次極限的定義，并會求二元函數的二重極限和二次極限，了解二重極限和二次極限之間的關系。

    6、多變量微分學

    理解偏導數和全微分的定義，了解全微分存在的必要條件和充分條件，會求多元函數的偏導數和全微分。理解高階偏導數和高階全微分的概念，掌握復合函數求偏導的鏈式法則，會求復合函數的二階偏導數，會求隱函數（包括由方程（組）所確定的隱函數）的偏導數。了解空間曲線的切線與法平面的求法，曲面的切平面與法線的求法，理解方向導數與梯度的概念及其計算方法。知道多元函數的泰勒公式。了解極值，極值點和條件極值的概念，會求函數的極值，了解最最小二乘法，理解方程或方程組的隱函數存在定理，理解函數行列式的性質。

    7、含參變量的積分和廣義積分

    理解含參變量的積分及由含參變量積分所確定的函數的性質（連續性，可微性，可積性），了解含參變量廣義積分的定義，掌握一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法（魏爾斯特拉斯判別法），及一致收斂積分的性質（連續性定理，積分順序交換定理，積分號下求導定理），了解歐拉積分。

    8、多變量積分學

    掌握二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的概念及其積分的性質。掌握二重積分與三重積分的計算及應用（化二重積分為二次積分，用極坐標計算二重積分，二重積分的一般變量替換，化三重積分為三次積分，三重積分的變量替換）。了解積分在物理上的應用（質心，矩，引力）。了解廣義重積分的定義。掌握第一、二類曲線積分和第一、二類曲面積分的計算，會計算曲面的面積，會化第一類曲面積分為二重積分。了解兩類曲線積分之間和兩類曲面積分之間的聯系，掌握各種積分間的聯系（格林公式、高斯公式、斯托克司公式），會利用這些公式計算曲線的積分。會使用平面曲線積分與路徑無關的條件，了解場及向量場的散度與旋度的概念。會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（如體積、曲面面積、弧長、質量、重心、轉動慣量、引力、功等）。

    二、考試形式及試卷結構

    閉卷、筆試，計算題和證明題，滿分150分。

    參考書目：

    《數學分析》（上、下），華東師范大學數學系編著，高等教育出版社出版，2010年第四版

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