2022陜西科技大學數學分析碩士研究生考研考試大綱及參考書目 正文

一、考試形式和試卷結構
  1、試卷滿分及考試時間
  本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
  2、答題方式
  答題方式為閉卷、筆試。
  3、試卷題型結構
（1）計算題　 80 分　　
（2）證明題   70分
二、考試范圍
第一章  實數集與函數
1. 運用實數的有序性、稠密性及封閉性論證有關問題，鄰域概念的理解及應用；
2. 實數絕對值的有關性質及幾個常見不等式的應用；
3. 實數集確界的概念及確界原理在有關問題中的正確運用；
4. 函數的概念及復合函數、反函數、有界函數、單調函數和初等函數等概念理解和運用；
5. 基本初等函數定義、性質及圖象的識記，會求初等函數定義域，分析初等函數的復合關系。
第二章  數列極限
1. 會用ε—N定義證明數列極限有關問題，并會用ε—N語言正確表述數列不以某數為極限；
2. 理解收斂數列的性質，極限的唯一性、保號性及不等式性質；
3. 會用極限的四則運算法則，迫斂性定理以及單調有界定理求收斂數列的極限；
4. 理解柯西準則在極限理論中的重要意義，能用該準則判定某些簡單數列的斂散性。
第三章  函數極限
1. 能運用函數極限定義證明與函數極限有關的某些命題，會給出函數不以某定數為極限的相應表述；
2. 掌握函數極限基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質及有理運算性質；
3. 理解Heine定理及Cauchy準則，初步掌握運用它們證明函數極限存在的基本思路；   
4. 識記兩個重要極限，能靈活運用其求一些相關函數極限；
5. 理解無窮小(大)量及其階的概念，會用無窮小量求某些函數的極限,無窮小(大)量階的比較。
第四章  函數的連續性
1. 明確函數在一點連續定義的幾種等價敘述；
2. 會熟練準確地求出一般初等函數或分段函數的間斷點并判別其類型；
3. 理解連續函數的性質，并能在相關問題的討論中正確運用這些重要性質；
4. 深刻理解初等函數的連續性，應用連續性求極限；
5. 閉區間上連續函數的性質，理解其幾何意義，并能在各種有關具體問題中加以運用；
6. 理解一致連續的概念，能認識到函數在區間上連續與一致連續兩者之間的聯系與區別。
第五章  導數與微分
1. 利用定義法求函數在一點的導數；導數與導函數的聯系與區別，可導的充要條件，可導與連續的關系，求曲線上一點處的切線方程，用導數概念解決相關變化率的實際應用問題；
2. 熟記各類基本初等函數導數公式，綜合運用求導的法則和方法熟練計算初等函數的導數；
3. 理解函數微分的概念，用定義求簡單函數的微分，運用基本公式和微分法則求初等函數的微分；
4. 導數與微分的聯系，增量與微分的關系，用微分作近似計算；
5. 理解高階導數與高階微分概念，明確二者的聯系，會求高階導數與高階微分，理解一階微分形式的不變性并用其求復合函數的微分。
第六章  微分中值定理及應用
1. 利用中值定理證明有關函數微分學的命題；
2. 用洛比塔法則求不定式的極限；
3. 討論函數及曲線性態，用導數作函數圖象；
4. 求解有關最大(小)值的應用問題；
5. 用中值定理及單調性證明不等式，方程根的存在個數及分布討論。

第七章  實數的完備性
1. 區間套、聚點、確界、覆蓋、子列及一致連續等概念的理解；求點集的聚點、確界；
2. 對實數基本定理的理解和準確表述，明確其等價性；
3. 應用閉區間上連續函數的性質討論函數的有界性、最值性、證明方程根的存在性。
第八章  不定積分
1. 原函數與不定積分的關系及其幾何意義；積分與微分的關系；
2. 熟記基本積分公式，用線性運算法則求不定積分；
3. 用換元積分法和分部積分法或綜合運用這幾種方法求不定積分；
4. 有理函數的積分法，用適當變換求三角函數有理式、簡單無理函數的積分；
5. 明確初等函數在定義區間存在原函數，但其原函數不一定是初等函數的結論。
第九章  定積分
1. 理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎上會用定義求簡單函數的定積分；
2. 明確可積的必要條件、充要條件及可積函數類；
3. 熟練地應用定積分的性質進行積分的計算，積分值的大小比較、求平均值及有關證明；
4. 用微積分學基本定理及牛頓——萊布尼茲公式進行有關積分的證明和計算；變限積分的求導法則及應用；
5. 用換元積分法和分布積分法計算定積分。
第十章  定積分的應用
1. 用定積分解決某些幾何應用問題：平面圖形面積、平面曲線的弧長、一些特殊立體的體積、旋轉曲面的面積等的計算；
2. 用微元法的思想及定積分計算一些物理上的應用問題：液體靜壓力、引力及功和平均功率。
第十一章  反常積分
1. 用比較法、Cauchy法判別無窮限積分的收斂性；
2. 瑕積分中瑕點的確定及收斂性判別；
3. 收斂的反常積分的計算。
第十二章  數項級數
1. 級數斂散性的概念及收斂級數性質的理解和運用；
2. 用定義、性質及收斂的必要條件判別級數的斂散性；
3. 用比較法、比式法、根式法、積分法判別正項級數斂散性；
4. 用萊布尼茲判別法判斷交錯級數的斂散性；
5. 用Abel及Dirichlet判別法判斷某些級數的斂散性。
第十三章  函數列與函數項級數
1. 函數列或函數項級數一致收斂的概念和性質的理解與掌握；
2. 函數項級數一致收斂性的判別；
3. 掌握一致收斂的函數列與函數項級數表示的函數的連續性、可積性、可微性，并用這些性質去解決有關問題。
第十四章  冪級數
1. 求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域；
2. 熟記幾個常用初等函數的冪級數展開式，并利用其將某些初等函數展開成冪級數；
3. 用冪級數的性質及逐項求導和逐項積分求某些冪級數的和函數；
4. 明確函數冪級數展開的條件及求函數冪級數展開式的一般步驟。
第十五章  傅里葉級數
1. 熟練地將以2π為周期的函數展成Fourier級數，并應用收斂定理求級數在指定點的和；
2. 將2π為周期的函數展成Fourier級數，會求函數的正弦級數和余弦級數；
3. 準確表述收斂性定理，知道其證明主要思路。
第十六章  多元函數的極限與連續
1. 理解平面點集的有關概念，求函數的定義域并繪圖表示；
2. 理解并掌握二元函數極限概念，明確重極限與累次極限的關系，能借助累次極限解決極限有關問題；說明二元函數極限不存在的常用方法的應用；
3. 理解二元函數連續的概念，會利用連續性求初等函數的極限，掌握有界閉域上連續函數的性質。
第十七章  多元函數微分學
1. 深刻理解全微分和偏導數的概念及聯系，用定義討論函數的可微性；
2. 用定義求函數在指定點的偏導數；
3. 熟練運用復合函數求導法則計算各階偏導數；
4. 函數的可微、連續、偏導存在與偏導數連續之間關系；
5. 求空間曲線的切線和法平面；曲面的切平面和法線；
6. 能寫出簡單二元函數的Taylor公式或Maclaurin公式；
7. 求二元函數的極值及一些簡單的最大(小)值應用問題。
第十八章  隱函數定理及應用
1. 求隱函數及隱函數組的導數；
2. 明確隱函數及隱函數組存在唯一性及可微性條件；
3. 隱函數理論在幾何上的應用，求曲線切線、法線(法平面)、求曲面的切平面和法線；
4.用Lagrange乘數法求條件極值。
第十九章  含參量積分
1. 分析、論證含參量積分定義的函數的連續性，可微性或可積性；
2. 判別含參量反常積分一致收斂性；
3. 用對參量的積分、微分、極限等運算求定積分或反常積分；
4. Γ函數及B函數的定義、關系及遞推公式的應用。
第二十章  曲線積分
1. 熟練運用兩類曲線積分的計算法求曲線積分；
2. 用曲線積分的幾何意義及物理意義解決有關應用問題。
第二十一章  重積分
1. 直角坐標系下計算二重積分及二次積分交換順序；
2. 利用變量替換公式簡化二重積分計算，特別是利用極坐標變換計算二重積分；
3. 應用Green公式計算第二型曲線積分，及用第二型曲線積分計算平面圖形面積；用曲線積分法求全微分式的原函數；
4. 化三重積分為累次積分，用柱面坐標和球面坐標計算三重積分。
第二十二章  曲面積分
1. 第一、二型曲面積分的計算；
2. 應用Gauss公式和stokes公式計算曲面積分及空間曲線積分；
3. 應用曲面積分解決有關幾何及物理應用問題；
4. 空間曲線積分與路線無關的條件，用曲線積分法求全微分式的原函數。
三、主要參考書
[1] 華東師范大學數學系, 數學分析（上、下冊）, 高等教育出版社, 2001年, 第3版
[2] 陳紀修, 於崇華, 金路, 數學分析（上、下冊）, 高等教育出版, 2004年, 第2版
[3] 裴禮文, 數學分析中的典型問題與方法, 高等教育出版社, 1993年, 第1版

陜西科技大學

本文來源：http://m.btfokj.cn/sxkjdx/cksm_461498.html