2021紹興文理學院數學分析研究生考試大綱

發布時間：2021-01-21 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2021紹興文理學院數學分析研究生考試大綱正文

碩士研究生招生考試業務課考試大綱

考試科目：數學分析科目代碼： 651

一、考試目的和要求

《數學分析》為招收數學專業碩士生而擬設的具有選拔功能的考試。其主

要目的是測試考生對數學分析最基本內容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟

悉數學分析的基本理論、掌握數學分析的基本方法, 具有較強的抽象思維能力、

邏輯推理能力和運算能力。

二、考試方法

閉卷。考試不允許帶計算器。

三、考試題型

判斷題、計算題、證明題等

四、考試知識點

(一)實數集與函數

上確界、下確界、確界原理；函數復合、基本初等函數、初等函數及常用特

性；基本初等不等式及應用。

（二）數列極限

數列極限的ε − N 定義；求解各類數列的極限；收斂數列的常用性質；數列

收斂的判別條件

（三）函數極限

函數極限的ε δ

− 定義及其它變式；函數極限存在的條件及判別，應用兩個

重要極限求解較復雜的函數極限。無窮小量、無窮大量的概念；會應用等價無窮

小求極限。

（四）函數連續性

函數在某點及在區間上連續的幾種等價定義，尤其是ε δ

− 定義；函數間斷

點及類型；閉區間上連續函數的三大性質及其應用；區間上一致連續函數的定義、

判斷和應用。

（五）導數和微分

導數的定義、幾何意義，復合函數、參量函數、隱函數求導；微分的概念，

復合函數微分及一階微分形式不變性。連續、可導、可微之間的關系；高階導數的各種求解方法。

（六）微分中值定理及其應用

微分中值定理及其應用，洛必達法則求極限，單調區間、極值、最值的求法；

Taylor 公式思想、方法及應用；曲線的凹凸性及拐點的求法，并掌握凸函數及

性質；應用函數單調性、凹凸性等等工具證明函數不等式。

（七）實數完備性

實數完備性定理，閉區間上連續函數有界性、最值性、介值性、一致連續性

定理。

（八）不定積分

原函數與不定積分，換元積分法、分部積分法，有理函數的積分，三角函數

有理式、某些簡單無理式的積分。

（九）定積分

積分的定義和性質，微積分基本定理熟練應用；換元法、分部積分法計算定

積分；可積條件和可積類。

（十）定積分的應用

平面圖形面積的計算；旋轉體或已知截面面積的體積；定積分求孤長、旋

轉體的側面積。

（十一）反常積分

反常積分收斂性定義，反常積分斂散性判別法（Cauchy、Abel、Dirichlet

三大判別法）。

（十二）數項級數

級數收斂和發散的定義、性質，正項級數收斂的各種判別法，條件收斂、

絕對收斂及 Leibniz、Abel、Dirichlet 三大判別法，條件收斂、絕對收斂級數

的特殊性質。

（十三）函數列與函數項級數

函數列、函數項級數一致收斂的ε-N 定義、一致收斂的判別法；一致收斂

函數列和一致收斂函數項級數的性質。

（十四）冪級數

冪級數收斂域、收斂半徑以及和函數的求法，知道冪級數的若干性質；函數

的冪級數展開的方法；冪級數的和函數及某些數項級數的和。

（十五）傅里葉級數

2π 周期的付里葉系數公式，會求函數的傅里葉展式，余弦級數，正弦級數

的求法；收斂性定理，掌握 Bessel 不等式、Lebesgue 引理等幾個重要定理；

Parseval 等式并運用其求某些數項級數的和。

（十六）多元函數的極限與連續

二元函數重極限、累次極限計算；二元函數連續性及其性質。

（十七）多元函數微分學

偏導數和全微分，會計算高階偏導數（尤其是二階偏導數），多元復合函數

求導的鏈式法則、理解一階全微分形式不變性。二元函數連續、偏導數連續、可

微、可偏導之間的多角關系；二元函數中值定理與 Taylor 公式；多元函數極值、

最值的求解方法，并會運用于解決實際問題。方向導數與梯度。（十八）隱函數定理及其應用

隱函數（組）定理，隱函數（組）的微分，空間曲線的切線與法平面，空間

曲面的切平面與法線；條件極值的 Lagrange 乘數法。

（十九）含參量積分

含參量正常積分的定義及性質，含參量反常積分一致收斂定義、判別法，一

致收斂含參量反常積分的性質（連續性、可導性、可積性），Euler 積分并用于

計算某些反常積分；積分號下求導數等方法計算某些積分和反常積分。

（二十）曲線積分

第一、二型曲線積分，格林公式，二型曲線積分與路徑無關的條件，會求

全微分式的原函數。

（二十一）重積分

二重積分、三重積分的直角坐標計算、變量替換，極坐標變換、柱坐標變換

球坐標變換及廣義球坐標變換，重積分幾何應用，會求曲面面積、重心坐標等。

（二十二）曲面積分

第一、二型曲面積分的概念及物理意義；了解兩種曲面積分的轉換關系，兩

型曲面積分的直角坐標計算公式；Gauss 公式和 Stokes 公式。

參考教材或主要參考書：

1．數學分析（上、下冊），華東師范大學數學系編，高等教育出版社.

2. 數學分析中的典型問題與方法，裴禮文，高等教育出版社。

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