2022年西北師范大學數學與統計學院同等學力加試科目《實變函數》考試大綱及參考書目 正文

一、考核概要
實變函數是數學與應用數學的專業課之一。通過本課程的學習，使學生掌握實變函數的基本理論、基本知識與基本方法，為以后進一步的深入學習其它學科打下堅實的基礎。本課程的具體要求有：掌握集合論的基本理論；初步掌握和了解測度論的基本知識；熟練掌握可測函數的基本概念和基本性質，初步掌握lebesgue 積分的理論和方法。
本課程的要求：要求學生能熟練地掌握對等和基數的概念，可數集的定義和性質，n維歐氏空間中聚點、內點和界點的定義，開集、閉集、完備集的概念和性質。初步理解和掌握可測集和不可測集的刻化和基本性質。熟練掌握可測函數的性質，幾乎處處收斂與依測度收斂的關系和基本的推導方法。初步掌握lebesgue 積分的的性質，能用有關定理極其它與Riemann積分的關系去處理一些簡單的問題。

二、考核要點及要求
第一章 集合
1、知識點
集合的概念和運算，對等與基數，可數集合，不可數集合，半序集和曹恩引理
2、考核要求
   1）掌握集合交，并、余等運算和上、下極限的定義和基本運算；
   2）熟練掌握集合的對等的定義與性質；能熟練應用伯恩斯坦（Bernstein）定理證明集合的對等關系；
3）理解基數的定義；掌握可數集與不可數集的性質，會判斷給定的集合是否可數。

第二章 點集
1、知識點
度量空間（n維歐氏空間），聚點、內點和界點，開集、閉集、完備集極其構造
2、考核要求
1）理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質，有界點集的定義和n維區間的體積；
2）熟練掌握n維區間點的關系，聚點、內點和界點的定義聚點與等價條件；
3）掌握開核、邊界和導集的概念和性質極其相互關系；
4）理解和掌握開集、閉集和完備集的性質；
5）理解開集的構成區間與余區間，了解開集、閉集的構造；熟練掌握康托爾集的構成和性質。
第三章測度論
1、知識點
    約當測度，Lebesgue 外測度和內測度，可測集
2、考核要求
1）測度的定義和性質；
2）掌握Lebesgue 外測度和內測度的定義和基本性質；
3）練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性質。
4）掌握零測集的性質；開集、閉集的可測性；
5）約當測度與Lebesgue測度的關系；
6）解特殊的兩類集合，波雷耳集。
   第四章 可測函數
1、知識點
可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂
2、考核要求
1）熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾乎處處成立的概念；
     2）理解葉果洛夫定理；
3）理解并掌握魯津定理及其逆定理；
     4）熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese定理和Lebesgue收斂定理
第五章 積分論
1、知識點
Riemann積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的極限定理
2、考核要求
1）了解由確界式定義的Riemann積分，及Riemann積分的缺陷；
     2）理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件；可積的四則運算，勒貝格積分與Riemann積分的關系；
3）熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性 ；
     4）熟練掌握一般可積函數的L積分的定義和初等性質。
     5）牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理及有關積分與求導交換的定理。

三、參考書目
1.《實變函數與泛函分析》，程其襄，張奠宙，胡善文等編， 第3版，高等教育出版社，2010.6.
2.《實變函數論》,周民強 編著，北京大學出版社，2001.7

西北師范大學

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