2022年西北師范大學數學與統計學院碩士研究生考試科目《統計綜合》考試大綱及參考書目 正文

統計綜合考試（概率論、數理統計、解析幾何、實變函數）科目大綱
(科目代碼：998)
  本門考試包含四門課程：概率論、數理統計、解析幾何、實變函數，總分為100分，其中數理統計和實變函數分別占20分到25分，解析幾何及概率論分別占25到30分。

概率論考試大綱
一、考核要求
 正確理解基本概念，準確掌握基本方法和基本結論。注重對隨機現象的理解和概率
直覺，理解概率統計中一些主要概念和方法產生的背景和思路，能夠對實際事物中的隨機性產生敏感，能綜合利用所學知識分析和解決一些實際問題。
二、考核要點
第一章考核概率論的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核隨機變量的概念，隨機變量的概率分布，了解隨機變量的數值特征；第三章考核多維（二維）隨機變量的分布以及它們的數字特征；第四章了解大數定律和中心極限定理；第五章掌握常用統計量及其分布；第六章考核利用隨機樣本估計總體參數的方法，并掌握評價估計量優良性的標準；第七章考核利用樣本對總體的特征進行檢驗的方法（假設檢驗）。
三、考核內容
第一章隨機事件與概率
第一節隨機事件及其運算    
第二節概率的定義及其確定方法    
第三節概率的性質
第四節條件概率   
第五節獨立性 
說明：重點掌握隨機事件、事件的概率、不相容、對立和獨立性等基本概念，掌握概率的基本性質、兩個概率模型及乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，熟練掌握事件與概率的有關運算。
第二章隨機變量及其分布
第一節  隨機變量及其分布  
第二節  隨機變量的數學期望
第三節 隨機變量的方差和標準差 
第四節  常用離散分布 
第五節 常用連續分布
第六節  隨機變量函數的分布 
說明：重點掌握一維離散型隨機變量的概率分布列和連續型隨機變量的概率密度函數，熟練掌握隨機變量數學期望和方差的計算，會求隨機變量函數的分布。
第三章 多維隨機變量及其分布
第一節    二維隨機變量及其聯合分布
第二節  邊緣分布和隨機變量的獨立性
第三節 二維隨機變量函數的分布 
第四節隨機變量的數值特征 
說明：重點掌握二維離散型隨機變量的聯合概率分布列和邊緣概率分布列，二維連續型隨機變量的聯合概率密度函數和邊緣密度函數，熟練掌握隨機變量協方差和相關系數的計算，會求隨機變量函數的分布。
第四章 大數定律和中心極限定理
第一節 隨機變量序列的兩種收斂性
第二節 大數定律
第三節 中心極限定理（
說明：理解兩種特殊的收斂性，理解大數定律和中心極限定理的刻畫的概率本質，會使用中心極限定理近似計算一些具體問題的概率。
第五章 統計量及其分布
第一節 總體與樣本
第二節 統計量及其分布
第三節三大抽樣分布
第六章 參數估計
第一節 點估計的概念與無偏性
第二節 矩估計及相合性
第三節 最大似然估計
第四節 區間估計 
說明：重點掌握極大似然估計的方法和幾種常見情形的區間估計，掌握評價估計量優良性的標準，了解單側置信區間的概念和計算。
第七章 假設檢驗
第一節 假設檢驗的基本思想與概念 
第二節 正態總體參數的假設檢驗 
說明：重點掌握假設檢驗的基本概念、基本原理和基本程序，會對單正態總體下期望和方差作具體的假設檢驗。
四、參考書目
1. 茆詩松，程依明，濮曉龍編著， 《概率論與數理統計（第二版）》，高等教育出版社，2011年。
2.魏宗舒等，《概率論與數理統計教程（第二版）》，高等教育出版社，2008年。

《數理統計》考試大綱
第一章  統計量及其分布
考試內容：
第一節  總體與樣本  
總體，樣本，分組樣本，簡單隨機樣本
第二節  樣本數據的整理 
經驗分布函數，頻數頻率分布表，直方圖，莖葉圖
第三節  常見統計量及其分布 
統計量，樣本均值，樣本方差，樣本矩及其函數，次序統計量及其分布，樣本分位數及其漸近分布
第四節  三大抽樣分布
卡方分布，t-分布，F-分布
第五節  充分統計量
充分統計量，因子分解定理，常見分布的充分統計量
考核要求：
理解總體與樣本的基本概念，理解樣本數據整理的直方圖、莖葉圖，理解三大抽樣分布的基本性質，掌握經驗函數、常見統計量及其分布，掌握次序統計量及其分布，理解樣本分位數及其漸近分布，用因子分解定理能討論統計量的性質。
第二章  參數估計
考試內容：
第一節  點估計的概念
    參數，點估計，無偏性，有效性，相合性
第二節  矩估計
    矩法和矩估計量，矩估計的無偏性和相合性，
第三節  極大似然估計
    極大似然估計，估計量的性質
第四節  最小方差無偏估計
    均方誤差，最小方差無偏估計，Fisher信息量
第一節區間估計
置信區間，樞軸量法，常用的置信區間
考核要求：
理解參數的估計量、置信區間及其評價標準，掌握參數的矩估計、極大似然估計的方法，
并能討論估計量的性質，掌握用樞軸量法求常用的置信區間。
第三章  假設檢驗
考試內容：
    第一節  假設檢驗的基本思想與概念 
        假設檢驗的思想與基本步驟，勢函數，顯著性檢驗
第二節  正態總體參數假設檢驗
      單個正態總體均值的假設檢驗，單個正態總體方差的假設檢驗，兩個個正態總體參數的假設檢驗
   第三節  其他分布參數的假設檢驗
       指數分布均值的假設檢驗等
   第四節  似然比檢驗與分布擬合檢驗
       似然比檢驗，分布擬合檢驗
   第五節  正態性檢驗
       概率紙檢驗，夏皮羅-維克爾（Shapiro-Wilk）檢驗
第六節  非參數檢驗
符號檢驗，秩和檢驗
考核要求：
 理解參數的顯著性假設檢驗思想，理解非正態總體參數的假設檢驗，理解似然比檢驗與分布擬合檢驗及正態性檢驗，掌握顯著性水平、第一二類錯誤的概率、勢函數、檢驗的拒絕域、檢驗的原假設、備擇假設等基本概念，理解掌握正態總體的期望和方差的顯著性檢驗方法。
第四章  方差分析與回歸分析
考試內容：
第一節 方差分析 
單因子方差分析，數據結構及其參數估計
第二節 一元線性回歸
    回歸方程的參數估計，顯著性檢驗，相關系數及其檢驗，估計與預測
第三節 一元非線性回歸
    雙曲線函數，冪函數，指數函數，對數函數，S型曲線
第六節  多元線性回歸  
考核要求：
    理解單因子方差分析的思想方法，理解非線性回歸的轉化及多元線性回歸方法的思想，掌握一元線性回歸的參數估計及預測。                 
參考書目：
1.茆詩松,程依明,濮曉龍. 概率論與數理統計教程. 北京：高等教育出版社, 2011年第2版.
2.韋來生. 數理統計. 北京：科學出版社, 2008.

《實變函數》 考試大綱
一、考核概要
實變函數是數學與應用數學的專業課之一。通過本課程的學習，使學生掌握實變函數的基本理論、基本知識與基本方法，為以后進一步的深入學習其它學科打下堅實的基礎。本課程的具體要求有：掌握集合論的基本理論；初步掌握和了解測度論的基本知識；熟練掌握可測函數的基本概念和基本性質，初步掌握lebesgue 積分的理論和方法。
本課程的要求：要求學生能熟練地掌握對等和基數的概念，可數集的定義和性質，n維歐氏空間中聚點、內點和界點的定義，開集、閉集、完備集的概念和性質。初步理解和掌握可測集和不可測集的刻化和基本性質。熟練掌握可測函數的性質，幾乎處處收斂與依測度收斂的關系和基本的推導方法。初步掌握lebesgue 積分的的性質，能用有關定理極其它與Riemann積分的關系去處理一些簡單的問題。
二、考核要點及要求
第一章 集合
1、知識點
集合的概念和運算，對等與基數，可數集合，不可數集合，半序集和曹恩引理
2、考核要求
   1）掌握集合交，并、余等運算和上、下極限的定義和基本運算；
   2）熟練掌握集合的對等的定義與性質；能熟練應用伯恩斯坦（Bernstein）定理證明集合的對等關系；
   3）理解基數的定義；掌握可數集與不可數集的性質，會判斷給定的集合是否可數。
第二章 點集
1、知識點
度量空間（n維歐氏空間），聚點、內點和界點，開集、閉集、完備集極其構造
2、考核要求
1）理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質，有界點集的定義和n維區間的體積；
2）熟練掌握n維區間點的關系，聚點、內點和界點的定義聚點與等價條件；
3）掌握開核、邊界和導集的概念和性質極其相互關系；
4）理解和掌握開集、閉集和完備集的性質；
5）理解開集的構成區間與余區間，了解開集、閉集的構造；熟練掌握康托爾集的構成和性質。
第三章測度論
1、知識點
    約當測度，Lebesgue 外測度和內測度，可測集
2、考核要求
1）測度的定義和性質；
2）掌握Lebesgue 外測度和內測度的定義和基本性質；
3）練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性質。
4）掌握零測集的性質；開集、閉集的可測性；
5）約當測度與Lebesgue測度的關系；
6）解特殊的兩類集合，波雷耳集。
   第四章 可測函數
1、知識點
可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂
2、考核要求
1）熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾乎處處成立的概念；
     2）理解葉果洛夫定理；
3）理解并掌握魯津定理及其逆定理；
     4）熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese定理和Lebesgue收斂定理
第五章 積分論
1、知識點
Riemann積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的極限定理
2、考核要求
1）了解由確界式定義的Riemann積分，及Riemann積分的缺陷；
     2）理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件；可積的四則運算，勒貝格積分與Riemann積分的關系；
3）熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性 ；
     4）熟練掌握一般可積函數的L積分的定義和初等性質。
     5）牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理及有關積分與求導交換的定理。
三、參考書目
1.《實變函數與泛函分析》，程其襄，張奠宙，胡善文等編， 第3版，高等教育出版社，2010.6.
2.《實變函數論》,周民強 編著，北京大學出版社，2001.7

解析幾何
一、考核概要
（一）、課程性質
《空間解析幾何》是信息與計算科學專業（本科）的核心課程之一。解析幾何就是用代數方法研究幾何。它把局限于形、相的定性研究推進到可以計算的定量研究的層面。為初等幾何提供了新的研究方法；為學習高等代數提供了具體的模型；為學習經典分析準備必要的知識。同時也為力學、物理學以及一切工程技術提供必要的數學工具。
（二）、學習該課程的目的
現實的三維空間是人們可直接接觸和直接觀察的歐氏空間。深入了解三維歐氏空間的結構及其度量性質有助于學生建立起更廣泛的“空間”概念以及向n維空間的推廣。通過《空間解析幾何》課程的學習，掌握解析幾何的思想，基本理論和研究方法；積累必要的數學知識；培養學生抽象思維能力、建立數學模型的能力、推理與演算的能力。
（三）、考核內容
《空間解析幾何》課程的主要內容有向量代數、軌跡與方程、平面及空間中的直線和曲線、幾類特殊曲面、二次曲面的一般理論等五個部分。
在空間中引進向量，實質是使空間的幾何結構代數的過程。向量的運算能夠解決幾何中的具有仿射性質的幾類基本問題和有關變量的幾類基本問題。再通過坐標法、建立軌跡（曲面、曲線）的方程，從而將研究曲線和曲面的幾何問題歸結為研究其方程的代數問題。包括研究圖形的性質、相互位置關系、方程的形式及相互轉化以及建立各種形式的方程的方法等方面。對二次曲面的一般理論的討論，自然而然地引進了坐標變換的方法，再進一步就可以轉到關于線性變換的代數理論的研究。由二次曲面方程的系數構成的若干個不變量和半不變量，完全可以刻劃二次曲面的各種性質，但不能確定二次曲面在空間中的位置。這也是一個十分重要的概念和思想。
二、具體的考核內容和要求
第一章  向量與坐標
考核要點：
向量的概念與運算、坐標與坐標系、用坐標進行向量的運算、向量共線或共面的必要條件。
考核內容：
1·1向量的概念、向量的線性運算、向量的線性關系和向量分解 
向量的定義、向量的模、單位向量、零向量、相等的向量、相反的向量、向量的共線與共面、向量的自由平移性、向量的加法及運算律、向量的減法、向量的數乘及運算律、向量的線性組合、向量由其它向量的線性表出、向量的線性相關和線性無關的定義和有關定理。
1·2坐標系與向量的坐標                          
仿射坐標系與直角坐標系、右手系、向量在坐標系下的坐標、坐標系的基底、用坐標進行向量的線性運算、共線與共面的充要條件、定比分點。
1·3向量在給定方向上的射影                      
射影的定義和有關定理
1·4向量的內積                                  
向量內積的定義和運算律、二向量垂直的充要條件、用坐標進行向量內積運算、兩點距離公式、向量的方向余弦、二向量之夾角。
1·5向量的外積                                  
向量外積的定義及運算律、幾何意義、用坐標進行外積運算、二向量共線的充要條件。
*1·6三向量的混合積
混合積的定義及運算律、幾何意義、三矢共面的充要條件、用坐標進行混合積運算。
重點：
本章是建立解析幾何理論的基礎和工具。學生應深刻理解空間的幾何結構是如何實現代數化的。并能熟練掌握和運用向量的基本知識，解決關于共線、共面、定比分點等仿射性質的問題；解決關于長度、夾角、面積、體積等度量問題。
第二章 軌跡與方程
考核要點：
軌跡與方程的關系、普通方程與參數方程、建立方程的方法。
考核內容：
2·1平面曲線的方程                               
平面曲線與其方程的關系、平面曲線的普通方程和參數方程、各種形式的方程相互轉化。
2·2曲面的方程                                   
曲面的直角坐標方程和參數方程、建立曲面方程的方法、球面和圓柱面的方程。
2·3母線平行于坐標軸的柱面方程                   
柱面的準線和母線、母線平行于坐標軸的橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面的方程。
2·4空間曲線的方程                               
空間中的二曲面的交線、空間曲線的參數方程、空間曲線的投影柱面。
重點：
建立動點軌跡的方程是解析幾何的基本思想。學生應當深刻理解軌跡與其方程之間的關系，能熟練地掌握建立曲面或曲線的方程的方法以及直角坐標方程和參數方程的相互轉化。
第三章 平面與空間直線
考核要點：
平面與空間直線的各種形式的方程，平面與平面、平面與點、平面與直線、直線與點、直線與直線之間的相關位置。
考核內容：
3·1平面的方程                                   
平面的方位向量、向量式參數方程、平面的一般方程及討論、平面的單位正法向量、法式方程。
3·2平面與點的相關位置                           
點到平面的離差、距離、平面劃分空間問題及三元一次不等式的幾何意義
3·3兩平面的相關位置                             
二平面平行、重合、相交、二平面所成的二面角、二平面垂直的充要條件。
3·4空間直線的方程                               
直線的方向向量、直線的向量或參數方程、直線的標準方程、直線的一般方程、直線射影式方程
3·5直線與平面的相關位置                         
直線平行于平面、直線在平面上、直線與平面相交、直線與平面的夾角。
3·6空間兩直線的相關位置、                         
直線的共面與異面、空間兩直線異面、相交、平行、重合的充要條件、空間兩直線的夾角、異面直線間的距離與公垂線方程。
3·7空間直線與點的相關位置                       
點到直線的距離
3·8平面束
有軸平面束的方程、平行平面束的方程。
重點：
本章是空間解析幾何的基本內容、學生應當熟練掌握平面和空間直線的各種形式的方程和建立這些方程的方法、熟練掌握各種相關位置的解析表達式和計算公式。
第四章  柱面、錐面、旋轉面與二次曲面
考核要點：
柱面方程、錐面方程、旋轉面方程的建立方法、齊次方程、繞坐標軸旋轉的旋轉面方程、橢球面、雙曲面、拋物面的方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線族方程。
考核內容：
4·1柱面                                          
柱面的母線方向、準線、柱面的直角坐標方程和參數方程。
4·2錐面                                          
錐面的頂點、準線和母線、錐面的直角坐標方程和參數方程、齊次方程。
4·3旋轉曲面                                      
旋轉軸、母線、經線與緯線、一般旋轉曲面的直角坐標方程的建立方法、繞坐標軸旋轉的旋轉面方程。
4·4橢球面                                        
橢球面的直角坐標方程與參數方程
4·5雙曲面                                        
單葉雙曲面與雙葉曲面的方程及討論
4·6拋物面                                        
橢圓拋物面與雙曲拋物面的方程及討論
4·7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。              
單葉雙曲面的直母線族方程、雙曲拋物面的直母線族方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線的性質。
重點：
本章介紹空間中的幾類有突出幾何特征和應用廣泛的曲面。學生應當熟悉這幾類曲面的方程和圖形。曲面是空間中動點的軌跡，有時也可以由一條曲線按某種規律運動生成，有的曲面可以由一族曲線（包括直線）生成，學生應了解和領會這種方法。
第五章 二次曲面的一般理論
考核要點：
二次曲面的漸近方向與非漸近方向、中心、切線、切平面、奇點、徑面、奇向、主徑面與主方向、特征方程與特征根、二次曲面方程的化簡與分類、直角坐標變換、應用不變量化簡二次曲面的方程。
考核內容：
5·1二次曲面與直線的相關位置                     
二次曲面與直線相關位置的6種情況的討論
5·2二次曲面的漸近方向與中心                     
漸近方向與非漸近方向、中心與中心坐標、中心二次曲面、線心二次曲面、面心二次曲面、無心二次曲面。
5·3二次曲面的切線與切平面                       
切線的定義、充要條件、切平面方程、奇點。
5·4二次曲面的徑面與奇向                         
徑面的定義、徑面的方程、共軛弦和共軛方向、徑面的性質、奇向。
5·5二次曲面的主徑面與主方向、特征方程與特征根   
主徑面、主方向、特征方程、特征根、特征根的性質。
5·6二次曲面方程的化簡與分類                     
空間直角坐標變換及變換公式、由新坐標系的三個坐標平面確定的坐標變換及變換公式、二次曲面方程的化簡與分類。
5·7應用不變量化簡二次曲面的方程                 
不變量與半不變量、五類二次曲面的判別、應用不變量化簡二次曲面的方程。
    重點：
本章是空間解析幾何的重要內容，學生應當熟悉二次曲面的一系列概念以及確定它們的方法；理解二次曲面一般理論的討論方法；掌握坐標變換方法和應用不變量化簡二次曲面的方法。
三、參考書目
 [1] 呂林根、許子道編《解析幾何》高等教育出版社、第三版、2001年6月
 [2] 南開大學主編《空間解析幾何》高等教育出版社。
[3]《解析幾何學習輔導書》，呂林根、許子道， 高等教育出版社，2006年5月。

西北師范大學

本文來源：http://m.btfokj.cn/xibeishifandaxue/cankaoshumu_461901.html