2021中國海洋大學F1101綜合考試研究生考試大綱 正文

F1101綜合考試

（包含①實變函數、②計算方法、③常微分方程）
閉卷考試，滿分為100分，其中實變函數40%、計算方法30%、常微分方程30%。考試時間：120分鐘。復試內容大綱如下：
①實變函數
一、考試性質
實變函數是數學相關專業(yè)碩士研究生入學考試復試筆試科目。
二、考察目標
實變函數是近代分析數學的基礎，是數學分析的延續(xù)與拓廣。考試以考察基本知識為主，考核對重要定理的理解和應用。旨在測試考生對集合論、可測集、可測函數、可積函數等基本定義概念的理解和掌握。要求考生理解實變函數的基本概念和基本理論；掌握其基本論證方法和常用結論；具備較強的邏輯推理能力及初步的應用能力。
三、考試形式
閉卷考試，本部分滿分為40分。
試卷結構：客觀題和簡答題約占50%，證明題約占50%。
四、考試內容
（一）集合論
1.集合的各種運算，上、下限集的定義
2.集合的對等，集合的基數，集合的可列性；
3.開集、閉集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性質；點集的內部、導集、閉包、邊界；Cantor三分集的結構和性質；
4.點到集合的距離，集合間的距離。
（二）可測集
1.外測度、測度和可測集的概念及其性質，集合可測性的判別方法；
2.開集、閉集的可測性，以及它們與可測集之間的聯系。
（三）可測函數
1.可測函數的概念及其性質；
2.函數可測性的判別方法，其與簡單函數的聯系；
3.可測函數列幾種收斂性之間的關系（包括處處收斂、幾乎處處收斂、一致收斂、近一致收斂、測度收斂）；
4.可測函數和連續(xù)函數的聯系
5.葉果洛夫（Egoroff）定理、里斯(Riesz)定理、魯津(Rusin)定理的含義及應用；
（四）Lebesgue積分
1.Lebesgue積分的定義及其性質，函數可積性的判定；
2.積分收斂定理（勒維(Levi)定理，法杜(Fatou)定理和Lebesgue控制收斂定理，Vitali定理）及應用；
3.Riemann積分與Lebesgue積分之間的區(qū)別和聯系； Fubini定理。
五、是否需使用計算器
否。
 
②計算方法
一、考試性質
計算方法是數學相關專業(yè)碩士研究生入學考試復試筆試科目。
二、考察目標
要求考生理解數值計算的基本方法及基本理論，掌握基本數值方法的理論分析技巧, 具有把數學問題近似求解和編程實現能力。本科目主要考查考生對計算數學基礎理論的掌握及考生的基本數值分析能力。從如下三方面測評考生的計算數學基本素質：
1.基本概念和基本理論
2.基本數值方法的構建及分析
3.綜合算法分析及應用
三、考試形式
閉卷考試，本部分滿分為30分。
試卷結構：
數值逼近的基本內容約占40%；
代數方程的數值方法及分析約占40%；
微分方程數值解法及分析約占20%。
四、考試內容
（一）數值逼近基礎
1．誤差（誤差來源，誤差限，有效數字，誤差傳播，避免誤差的注意事項）
2．插值法（Lagrange插值，Hermite插值，分段插值，分段Hermite插值, 樣條插值，數值微分）
3．數據擬合法（最小二乘原理，多變量擬合，正交多項式擬合）
4．數值積分（梯形、Simpson公式及誤差估計，復化公式及誤差估計，加速公式與Romberg求積，Gauss型公式等）
（二）代數方程數值方法
1．線性方程組的直接法 (高斯消去法、主元消去法、矩陣分解法、誤差分析)
2．線性方程組的迭代法 (幾種常用迭代法收斂性及誤差估計、判別收斂的條件、收斂速率)
3．矩陣特征值和特征向量的計算 (冪法、反冪法、QR算法、Jacobi方法)
4．非線性代數方程的解法 (對分區(qū)間法、迭代法、迭代收斂的加速、Newton法、弦位法、拋物線法、最速下降法)
（三）微分方程數值方法
1．常微分方程的數值解法（幾種簡單的數值解法、R-K方法、線性多步法、預估校正公式、自動選取步長及事后估計）
2．偏微分方程的差分解法（差分格式的建立、收斂性、穩(wěn)定性、高維問題的交替方向法）
五、是否需使用計算器
否。

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