2021湖北師范大學數學分析專業研究生考試大綱 正文

一、考查目標
數學分析科目考試內容包括極限與連續、微分學、積分學和級數要求考生系統掌握相關內容的基本知識、基礎理論、基本方法、基本計算，并能運用相關理論和方法分析、解決實際問題。
二、考試形式與試卷結構
（一）試卷成績及考試時間
本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
（三）試卷內容結構
各部分內容所占分值為：
  極限與連續    約40分
  一元微積分    約40分
  多元微積分    約40分
無窮級數      約30分
（四）試卷題型結構
計算題：4小題，每小題15分，共60分
證明題：6小題，每小題15分，共90分
(五)主要參考書目
華東師范大學數學系主編：《數學分析》（上、下冊），高等教育出版社2010年。


三、考查范圍
（一）考查目標
1、系統掌握數學分析原理的基本概念、基礎知識、基本理論和基本計算。
2、掌握和理解極限理論和方法，由此而產生的連續性、微分學、積分學和無窮級數。
3、能靈活運用基本定理和基本方法證明問題，能靈活運用基本公式計算問題，以及綜合運用。
（二）考試內容
一）集合與函數
1. 實數集、有理數與無理數的稠密性，實數集的界與確界、確界存在性定理、閉區間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。
2. 上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推廣。
3. 函數、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數概念，反函數與逆變換，反函數存在性定理，初等函數以及與之相關的性質。
二）極限與連續
1. 數列極限、收斂數列的基本性質（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質）。
2. 數列收斂的條件（Cauchy準則、迫斂性、單調有界原理、數列收斂與其子列收斂的關系），極限及其應用。
3.一元函數極限的定義、函數極限的基本性質（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質、迫斂性），歸結原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限及其應用，計算一元函數極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數重極限與累次極限概念、基本性質，二元函數的二重極限與累次極限的關系。
4. 函數連續與間斷、一致連續性、連續函數的局部性質（局部有界性、保號性），有界閉集上連續函數的性質（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續性）。
三）一元函數微分學
1.導數及其幾何意義、可導與連續的關系、導數的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性。
2.微分學基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項)。
3.一元微分學的應用：函數單調性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數及其應用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數圖象的討論、洛必達（L'Hospital）法則、近似計算。
四）多元函數微分學
1. 偏導數、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續之間的關系，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，高階偏導數，混合偏導數與順序無關性，二元函數中值定理與Taylor公式。
2.隱函數存在定理、隱函數組存在定理、隱函數（組）求導方法、反函數組與坐標變換。
3.幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）。
4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數法。
五）一元函數積分學
1. 原函數與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數積分：型，型。
2. 定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數類。
3. 定積分的性質（關于區間可加性、不等式性質、絕對可積性、定積分第一中值定理）、變上限積分函數、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理。
4.無限區間上的廣義積分、Canchy收斂準則、絕對收斂與條件收斂、非負時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數廣義積分概念及其收斂性判別法。
5. 微元法、幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉體體積），及其它應用。
六）多元函數積分學
1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換）。
2.三重積分、三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）。
3.重積分的應用（體積、曲面面積、重心、轉動慣量等）。
4.含參量正常積分及其連續性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。
5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質、計算。
6.第二型曲線積分概念、性質、計算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關的條件。
7.曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關系。
七）無窮級數
1. 數項級數
級數及其斂散性，級數的和，Cauchy準則，收斂的必要條件，收斂級數基本性質；正項級數收斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯級數的Leibniz判別法；一般項級數的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法。
2. 函數項級數
函數列與函數項級數的一致收斂性、Cauchy準則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數列、函數項級數的性質及其應用。
3.冪級數
冪級數概念、Abel定理、收斂半徑與區間，冪級數的一致收斂性，冪級數的逐項可積性、可微性及其應用，冪級數各項系數與其和函數的關系、函數的冪級數展開、Taylor級數、Maclaurin級數。
4.Fourier級數
三角級數、三角函數系的正交性、2及2周期函數的Fourier級數展開、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數的Fourier級數的收斂性定理。

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