2021遼寧大學(xué)高等代數(shù)專(zhuān)業(yè)研究生考試大綱 正文

《高等代數(shù)》考試大綱
1. 行列式
1.1了解排列的概念及性質(zhì)。
1.2 熟練掌握行列式的概念、性質(zhì)。
1.3 掌握行列式的計(jì)算方法。
1.4 熟悉克拉姆法則。
1.5 對(duì)矩陣及矩陣的初等變換有初步的了解。
2. 線(xiàn)性方程組
2.1 掌握維向量及維向量空間的概念，熟練掌握向量的運(yùn)算。
2.2 熟練掌握向量組的線(xiàn)性相關(guān)性，理解向量組的極大無(wú)關(guān)組。
2.3 深刻理解向量組的秩和矩陣的秩的定義，掌握矩陣秩的計(jì)算方法。
2.4 熟練掌握線(xiàn)性方程組的有解判別定理。
2.5 正確理解和掌握齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系的概念和計(jì)算方法，熟練掌握線(xiàn)
    性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)求解線(xiàn)性方程組。
3. 矩陣
3.1 了解矩陣概念的一些背景。
3.2 熟練掌握矩陣的運(yùn)算及運(yùn)算律。
3.3 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。
3.4 深入理解矩陣可逆、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握方陣可逆的充要條，會(huì)
    用公式法求矩陣的逆矩陣。
3.5 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)。
3.6 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換的概念及它們的關(guān)系，熟練掌握利用初等變換方法求矩陣的逆矩陣。
3.7 了解分塊乘法的初等變換，會(huì)將矩陣分塊與初等變換結(jié)合進(jìn)行矩陣運(yùn)算。
4. 二次型
4.1正確理解二次型非退化線(xiàn)性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示，掌握矩陣合同的概念與性質(zhì)。
4.2 掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。
4.3 深刻理解對(duì)稱(chēng)矩陣與二次型的關(guān)系，掌握對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)。
4.4 掌握慣性定理，熟練掌握正定二次型的等價(jià)條件。
4.5 掌握半正定二次型的等價(jià)條件。
5. 線(xiàn)性空間
5.1 掌握集合與映射的相關(guān)概念。
5.2 熟練掌握線(xiàn)性空間及其基于維數(shù)等相關(guān)概念。
5.3 會(huì)求線(xiàn)性空間的基與維數(shù)。
5.4 掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式，。
5.5 熟練掌握線(xiàn)性子空間的概念及其判定方法。
5.6 掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)，熟練掌握維數(shù)公式。
5.7 深刻理解子空間的直和的概念，掌握判定直和的充要條件。
5.8 理解并掌握線(xiàn)性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及有限維空間同構(gòu)的充要條件。
6. 線(xiàn)性變換
6.1 理解并掌握線(xiàn)性變換的定義及性質(zhì)。
6.2 掌握線(xiàn)性變換的運(yùn)算及運(yùn)算律，理解線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式。
6.3 掌握線(xiàn)性變換與矩陣的關(guān)系，掌握矩陣相似的概念及性質(zhì)。
6.4 理解并掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)等概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量，掌握哈密爾頓-凱萊定理。
6.5 掌握線(xiàn)性變換的值域與核的概念及相關(guān)理論。
6.6 了解不變子空間與線(xiàn)性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系。
7. 歐幾里得空間
7.1 深刻理解并掌握歐幾里得空間的基本概念和理論。
7.2 掌握向量的內(nèi)積和向量的度量性質(zhì)。
7.3 正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化方法。
7.4 理解并掌握正交變換的概念與等價(jià)條件，掌握正交變換與向量長(zhǎng)度、標(biāo)準(zhǔn)正交基以及正交矩陣的關(guān)系。
7.5 理解兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系。
7.6 熟練掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的進(jìn)一步性質(zhì)。
8. 多項(xiàng)式
8.1 了解多項(xiàng)式的定義與基本運(yùn)算。
8.2 掌握多項(xiàng)式整除的概念、性質(zhì)與帶余除法。
8.3 掌握最大公因式的概念、存在性與求法,掌握多項(xiàng)式互素的概念與相關(guān)性質(zhì)。
8.4 掌握不可約多項(xiàng)式的概念、性質(zhì)。
8.5 了解因式分解定理以及復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理。
8.6 了解重因式的概念以及多項(xiàng)式有重因式的充要條件。
8.7 了解多項(xiàng)式函數(shù)的概念、余數(shù)定理、代數(shù)基本定理。
8.8 掌握求有理系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根的方法以及Eisenstein判別法。
9. 矩陣
9.1 了解矩陣的定義、矩陣的初等變換、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形以及矩陣
的行列式因子、不變因子等概念，了解矩陣等價(jià)的充要條件,掌握用初
等變換將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。
9.2掌握矩陣初等因子的概念、求法以及數(shù)字矩陣相似的充要條件，掌握矩陣相
似于對(duì)角形矩陣的等價(jià)條件。
9.3 了解矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形以及有理標(biāo)準(zhǔn)形的概念，掌握矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)
    形的求法，了解矩陣有理標(biāo)準(zhǔn)形的求法。

遼寧大學(xué)

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