2022年西北師范大學數學與統計學院碩士研究生考試科目《數學分析》考試大綱及參考書目 正文

一、考核要求
數學分析是數學與應用數學專業的專業基礎核心課程，是學生學習分析學系列課程及數學專業其它后繼課程的重要基礎，也為高觀點下深入理解中學數學教學內容所必需。數學分析的主要內容有：極限理論、微分學、積分學及級數理論。數學分析中的極限思想十分重要，它幾乎貫穿了數學分析及其它與分析相關的自然學科的始終。數學分析課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學生對基礎知識的掌握情況，考核學生是否具有嚴密的
邏輯推理能力，考核學生應用所學知識解決某些實際問題的能力。

二、考核評價目標
數學分析課程重點考核學生對理論基礎知識掌握的情況及分析解決某些實際問題能力。通過考核，選拔出具有較好的數學功底的學生來攻讀數學學科的碩士研究生。考核評價目標應使錄取的研究生具有較扎實與系統的從事基礎數學、應用數學以及計算數學等的進一步學習及科研工作所需的數學分析知識。

三、考核內容
第一章極限
第一節實數集與函數
考核不等式、集合、映射、函數、初等函數、領域、上確界、下確界的定義，會進行集合運算和函數的各種表示，能分析函數的有界性、奇偶性、單調性和周期性，熟悉確界原理。
第二節 數列極限
考核數列、數列極限的定義、無窮小數列，收斂數列的性質，數列極限的四則運算，單調數列及單調有界定理，Cauchy列及收斂準則。
第三節 函數極限
考核函數極限的定義、性質、四則運算、與數列極限的關系，單側極限、Cauchy收斂原理，兩個重要極限，無窮小量與無窮大量及關系。
第四節 連續函數
充分領會函數極限、連續的定義、領會函數極限與數列極限的關系和Cauchy收斂原理、一致連續的概念，能應用函數極限、連續的定義分析、論證，能用無窮小量對極限進行分析，區別無窮小量能否進行代換的條件，區分不連續點的類型。
第五節 實數基本定理
能綜合應用確界定理，單調有界定理，區間套定理進行證明，應用收斂子列定理和Cauchy收斂定理進行基本證明。
第二章 一元函數微分學
第一節 導數和微分
會應用導數的定義、四則運算法則、反函數的求導法則和復合函數求導法則求導數和高階導數，能綜合應用各種方法求函數的導數
第二節 微分中值定理及應用
領會微分中值定理、Taylor公式的深刻意義，能用微分中值定理進行分析、論證，能將函數展開成Taylor多項式和其余項之和，能綜合使用Hospital法則及Taylor公式求函數及數列的極限。能綜合應用函數的凸性、單調性（利用導數）及中值定理分析和解決問題。
第三章 一元函數積分學
第一節 積分的計算、性質及應用
綜合應用各種方法，（包括定義、基本公式、線性性質、換元積分法、分部積分法）能計算出一般函數的積分；重點掌握定積分的概念，Darboux和概念等；掌握可積的充要條件，可積函數類，定積分的性質，微積分基本定理和求面積、弧長、體積和側面積，了解微元法及其應用。
第二節 反常積分
掌握反常積分斂散性的定義，奇點，了解Cauchy主值和反常積分收斂的關系，掌握一些重要的反常積分收斂和發散的例子，理解并掌握絕對收斂和條件收斂的概念并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負函數反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，以及一般函數反常積分的Abel、Dirichlet判別法判別基本的反常積分，熟練應用積分第二中值定理。
第四章 級數
第一節 數項級數
準確理解斂散性概念、級數收斂的必要條件和其它性質，熟練地求一些級數的和；準確理解上極限與下極限的概念及其性質，熟練地求上極限與下極限；熟練利用正項級數的收斂原理，比較判別法，Cauchy、D`Alembert判別法及其極限形式，Raabe判別法和積分判別法判別正項級數的斂散性；準確理解Leibniz級數，熟練利用Leibniz級數，Abel、Dirichlet判別法判別一般級數的斂散性。
第二節函數項級數與冪級數
重點理解點態收斂、一致收斂和內閉一致收斂，函數列一致收斂的判別法；能熟練應用函數項級數的Cauchy收斂原理，Weierstrass判別法，Abel、Dirichlet判別法，掌握一致收斂級數的連續性、可導性和可積性；重點掌握用Cauchy-Hadamard、D`Alembert求冪級數收斂半徑，可以利用冪級數可導和可積性求冪級數的和，掌握函數冪級數展開的條件，初等函數的冪級數展開。
第三節 傅里葉級數
熟練掌握函數的Fourier級數展開；綜合分析Fourier級數的斂散性；理解并合理利用Fourier級數的分析性質和逼近性質；掌握Fourier變換的性質及其在理論分析和實際計算中的應用；掌握快速Fourier變換的應用。
第五章 多元函數微分學
第一節 多元函數的極限與連續
考核Descartes乘積集，內積及其性質，Euclid空間，Euclid范數，Rn的極限，有界集，內點，邊界點，孤立點，聚點，開集和閉集及其關系，閉包，理解閉矩形套定理， Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收斂定理，緊集及其Heine-Borel定理；掌握多元函數的定義，多元函數的重極限和二次極限及其關系，多元函數的連續，了解向量值函數及其極限、連續等性質；理解緊集上的連續映射概念，緊集上連續函數的有界性、最值定理、一致連續性定理、中間值定理，掌握連通集和區域等概念。
第二節 多元函數的導數、微分及應用
重點掌握偏導數，方向導數，全微分，連續、可偏導、可微之間的關系，梯度，高階偏導數和高階全微分，了解混合偏導數的相等，向量值函數的導數；掌握多元復合函數的鏈式法及其應用，了解一階全微分的形式不變性。
第三節 隱函數定理及應用
考核隱函數定理及其應用，會計算隱函數的導數；掌握無條件極值與條件極值的求法。
第六章 多元函數積分學
第一節 重積分
理解重積分與反常重積分的概念；了解二重積分的可積函數類與性質；熟練掌握二重積分、n重積分及反常重積分的算法；掌握二重積分與n重積分的變量代換；理解有向面積及微分形式的概念。
第二節 曲線積分和曲面積分
綜合分析第一、二類曲線積分與曲面積分的概念與計算；掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式及其應用；理解梯度、通量與散度、向量線、環量與旋度的概念及簡單應用；分析微分形式的外微分及其應用。
第三節 含參變量積分
熟練掌握含參變量的常義積分的定義及分析性質；熟練掌握含參變量的反常積分的一致收斂的判別法及一致收斂積分的分析性質；掌握Beta函數和Gamma函數的性質、遞推公式及二者之間的關系。

參考書目：
1. 華東師范大學數學系編，《數學分析》（上，下），高等教育出版社，2001年（第三版））。
2. 陳紀修，於崇華，金路，《數學分析》（上，下），高等教育出版社，2000年（第一版）。
3. 裴禮文，《數學分析中的典型問題與方法》，高等教育出版社，2006年（第二版）。
4. 劉三陽，于力，李廣民，《數學分析選講》，科學出版社，2007年（第一版）。

西北師范大學

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