2022年西北師范大學數學與統計學院碩士研究生加試科目《常微分方程》考試大綱及參考書目 正文

第一章初等積分法
考試要點
準確理解微分方程的一些最基本的概念；按如下兩條主線掌握一階方程的初等積分法：變量分離方程和通過變換可化為變量分離方程的方程，全微分方程和通過積分因子法或分項組合法可化為全微分方程的方程；掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程的解法。
考試內容
第一節微分方程與解 
基本概念：微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）、定解問題，通過單擺方程和人口模型等介紹微分方程的背景和建立微分方程求解應用問題的基本方法。
第二節變量可分離方程 
第三節變量分離法。
第四節齊次方程 
    齊次方程和一些齊次方程的變形的解法。
第五節一階線性方程
    一階線性方程的解法—常數變易法與Bernoulli方程的解法；通過解的一般表達式討論解的性質。
第六節全微分方程及積分因子
    全微分方程的解法和積分因子法、分項組合法。
第七節線素場  歐拉折線 
    一階微分方程的幾何解釋和歐拉折線法。
第八節一階隱式微分方程
一階隱式微分方程的微分消參法，特別是Clairaut方程的解法、奇解與包絡。
第九節一階微分方程應用舉例
     簡介
第十節幾種可降階的高階方程 
    幾種可降階的高階微分方程的解法。
考核要求
掌握微分方程的基本概念--微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）等；掌握變量分離方程和通過變換可化為變量分離方程的方程、全微分方程和通過積分因子法或分項組合法可化為全微分方程的一階微分方程的解法；掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程的解法；能夠通過解的一般表達式討論解的性質，理解和應用奇解概念；通過建立微分方程求解一些應用問題。

第二章基本定理
教學要點
解的存在唯一性定理、延拓定理、解對初值的連續依賴性和可微性定理以及所涉及概念的準確理解，解的存在唯一性定理的詳細證明。
教學內容
第一節  解的存在性與唯一性定理 
    引進并詳細證明解的存在唯一性定理；依據具體例子對定理的條件做詳細說明。
第二節  解的延展 
    介紹并證明解的延展定理，示例說明該定理的條件；介紹第一比較定理。
第三節  解對初值的連續依賴性
    介紹并證明解對初值的連續依賴性定理。
第四節  解對初值的可微性 
  介紹并證明解對初值的可微性定理。
考核要求
重點掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的內容以及解的存在唯一性定理的證明思想；熟練掌握Picard逼近列、Lipschits條件和延拓概念。

第三章線性微分方程
考試要點
準確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握Liouville公式、常數變易法和常系數線性微分方程的特征根法、比較系數法、Laplace變換；理解振動現象。
考試內容
第一節   線性方程的一般性質 
    線性微分方程的解的存在唯一性定理及線性微分算子的性質。
第二節   n階線性齊次微分方程 
    建立齊次線性微分方程的一般理論，得到通解結構定理，證明Liouville 公式并應用到2階微分方程。
第三節   n階線性非齊次方程
    n階線性非齊次方程的通解結構定理與常數變易法。
第四節   n階常系數線性齊次微分方程解法 
用特征根法解常系數線性齊次微分方程的基本步驟、理論證明、典型示例。
第五節   n階常系數線性非齊次微分方程解法
    比較系數法的建立、理論證明、典型示例。
第六節   Laplace變換 
介紹Laplace變換以及如何應用Laplace變換求解一些常系數線性非齊次微分方程的Cauchy問題。
第七節   2階常系數線性方程與振動現象 
依據線性微分方程的解的表示解釋振動現象。
考核要求
準確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握Liouville 公式、常數變易法、特征根法、比較系數法和Laplace變換；能夠依據解的一般表示討論解的一些屬性。

第四章線性微分方程組
考試要點
準確理解線性微分方程組的一般理論；能夠熟練掌握Liouville公式、常數變易法、常系數線性微分方程的特征根法和簡單的非齊次方程的解法。
考試內容
第一節   一階微分方程組 
    一階微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。
第二節   線性微分方程組的一般概念 
一階線性微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。
注：第一節與第二節共2學時
第三節   線性齊次微分方程組的一般理論
    建立線性齊次微分方程組的一般理論，得到通解結構定理，證明Liouville 公式。
第四節   線性非齊次微分方程組的一般理論 
    線性非齊次微分方程組的一般理論和常數變易法。
第五節   常系數線性微分方程組的解法 
    特征根法—理論證明與方法的熟練應用；簡單的非齊次方程的解法。
考核要求
準確理解線性微分方程組的一般理論；熟練掌握Liouville 公式、常數變易法和特征根法；能夠依據解的一般表示討論解的一些屬性。

第五章定性與穩定性概念
考試要點
二維自治系統初等奇點的分類及其附近的軌線分布；極限環的定義與示例；穩定性概念及其判定定理，分別應用穩定性概念、線性化系統的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統的解的穩定性。
考試內容
第一節相平面作圖   單擺 
    自治系統及其軌線的分類與性質。
第二節初等奇點附近的軌線分布 
    二維自治系統初等奇點的分類—結點、鞍點、焦點、中心及其附近的軌線分布。
第三節極限環舉例 
    極限環的定義與示例。
第四節穩定性概念 
    穩定性概念、判定定理和判定方法，著重Liapunov第二方法。
考核要求
重點掌握二維自治系統初等奇點的分類及其附近的軌線分布；理解穩定性概念及其判定定理，會應用穩定性概念、線性化系統的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統的解的穩定性。
二、參考書目
1、東北師范大學數學系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年。
2、葉嚴謙，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年（第二版）。
3、中山大學數學系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983年（第二版）。
4、國家教育委員會師范教育司，《普通高度師范學校數學教育專業（本科）教育教學基本要求（試行）》，首都師范大學出版社，1994。

西北師范大學

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