2022年西北師范大學數學與統計學院碩士研究生加試科目《泛函分析》考試大綱及參考書目 正文

第一章  度量空間與線性賦范空間
    考試要點：
    度量空間的概念，例子；度量空間中的收斂性與連續性；稠密性；可分性；Cauchy列與度量空間的完備性；壓縮映像原理及其應用；線性賦范空間的概念，例子；Banach空間的概念。
    考試內容：
    第一節  度量空間的概念與例子 
    距離及度量空間的定義；例子（歐氏空間；連續函數空間；數列空間等）。
    第二節  度量空間中的極限稠密性可分空間 
    領域的概念；收斂點列；有界集；具體空間中收斂性的意義；稠密性與可分空間的概念；不可分空間的例子。
第三節連續映射 
映射連續性的各種定義及其等價性。
第四節Cauchy點列與完備度量空間  
    度量空間中Cauchy點列的概念；完備度量空間的定義；完備度量空間與不完備度量空間的各類例子；度量空間閉子空間的完備性。
第五節度量空間的完備化  
     等距同構；度量空間的完備化定理；
第六節壓縮映像原理及其應用 
壓縮映像的定義；壓縮映像原理；在隱函數定理及常微分方程中的應用。
第七節線性空間  
     本節內容為線性空間的基本概念。因學生已在高等代數課程中學過有限維空間的有關內容，故只需簡要回顧并強調無限維線性空間的特征即可。
第八節線性賦范空間和Banach空間  
     范數，線性賦范空間和Banach空間的概念；依范數收斂；空間；空間；空間；空間；空間；空間；有限維賦范空間的拓撲同構性。
    考核要求：
    掌握度量空間，線性賦范空間和Banach空間的概念和性質；掌握映射連續性，度量空間的完備性等概念；熟悉空間，空間，空間，空間，空間，空間；透徹理解壓縮映像原理及其簡單應用。能獨立解答基本的習題。


第二章  線性有界算子和線性連續泛函
    考試要點：
    線性有界算子，線性連續泛函，線性算子空間，共軛空間。
    考試內容：
    第一節  線性有界算子與線性連續泛函 
    線性有界算子與線性連續泛函的概念，例子，有界與連續的等價性，線性有界算子零空間的性質，算子范數。
    第二節  線性算子空間和共軛空間 
    線性算子空間的結構及其完備性，共軛空間，保距算子，同構映照，同構，一些具體空間的共軛空間。
     考核要求：
    掌握線性有界算子，線性連續泛函，有界性，連續性，算子范數，共軛空間，保距算子，同構映照，同構等基本概念；掌握有界與連續的等價性定理，基本定理；能夠計算簡單的算子范數和一些具體空間的共軛空間。能獨立解答基本的習題。

第三章  內積空間和Hilbert空間
    考試要點：
    內積空間，投影定理，Hilbert空間，就范直交系，Hilbert空間上線性連續泛函的表示。
    考試內容：
    第一節  內積空間的基本概念 
    內積空間與Hilbert空間的定義，平行四邊形公式，內積空間的判定。
    第二節  投影定理 
    點到集合的距離，凸集，極小化向量定理，集合的正交，Hilbert空間的正交分解，投影算子及其性質。
第三節Hilbert空間中的就范直交系
    就范直交系，Fourier系數集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定義與判定,  Fourier展式，Gram-Schmidt正交化過程，Hilbert空間的同構。
第四節Hilbert空間上的線性連續泛函 
Riesz表示定理，共軛算子及其性質。
第五節自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念與簡單性質。
    考核要求：
    掌握內積空間，Hilbert空間，平行四邊形公式，就范直交系，Bessel不等式，Parseval恒等式，Fourier展式，投影算子，共軛算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握極小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理,  Riesz表示定理等基本定理的內容與證明；能獨立解答基本的習題。
第四章  Banach空間中的基本定理
    考試要點：
    Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，線性賦范空間中的共軛算子，   
第一節泛函延拓定理 
次線性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的實形式、復形式及其推論。
第二節的共軛空間、Riesz表示定理
第三節共軛算子 
第四節線性賦范空間中共軛算子的定義及性質。
第五節綱定理和一致有界性定理 
第一綱集，第二綱集，Baire綱定理,  一致有界性定理強收斂、弱收斂和一致收斂 
    強收斂、弱收斂、弱*收斂和一致收斂的定義，例子，相互關系，強收斂的充要條件。
第六節逆算子定理 
    逆算子定理及其證明。
第七節閉圖象定理  
    線性算子的圖象，閉算子，閉圖象定理。
    考核要求：
    掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire綱定理，逆算子定理，閉圖象定理是泛函分析基礎理論的主要構成部分，要求熟練掌握這些內容；能獨立解答基本的習題。

   第五章  線性算子的譜
    考試要點：
    簡要介紹線性算子的譜的概念，基本性質。
    譜的概念 
正則算子，正則點，正則集，譜點，特征值，特征向量，點譜，連續譜，例子。
第一節線性有界算子譜的基本性質 
譜集的閉性。
    考核要求：
    了解線性算子的譜的概念，基本性質
三、參考書目
1、 程其襄等，《實變函數與泛函分析基礎》，高等教育出版社， 1983， 第一版。
2、 王聲望， 鄭維行，《實變函數與泛函分析概要》，第二冊，高等教育出版社，1992，第二版。
3、 夏道行等，《實變函數論與泛函分析》，下冊，高等教育出版社， 1985，第二版。   

西北師范大學

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