2021浙江海洋大學806數學分析研究生考試大綱 正文

無窮小量與無窮大量：無窮小量與階的比較、高階無窮小量、同階無窮小量、等價無窮  小量；無窮大量；曲線的漸近線（斜漸近線、水平漸近線與垂直漸近線）。
4、函數連續
函數連續性概念：函數的點連續性、左（右）連續性的概念及相互關系；間斷點及類型；   區間上的連續函數。
連續函數的性質：連續函數的局部性質，包括局部有界性、局部保號性、四則運算、復   合函數的連續性；有界閉區間上連續函數的基本性質，包括有界性定理、最值定理、介值性   定理、根的存在定理、一致連續性定理；反函數的連續性。
初等函數的連續性：基本初等函數的連續性；初等函數的連續性。
5、導數與微分
導數概念：導數定義、單側導數；導函數；導數的幾何意義。
求導法則：導數的四則運算；反函數導數；復合函數的導數（鏈式法則、對數求導法）；

基本導數法則與公式。 參變量函數的導數。
高階導數：高階導數定義；萊布尼茨公式。
微分：微分的概念；微分運算法則；高階微分；微分在近似計算中的應用。
6、微分中值定理及其應用
拉格朗日中值定理和函數的單調性：羅爾定理與拉格朗日定理；單調函數。  柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理；不定式的極限。
泰勒公式：帶有佩亞諾余項的泰勒公式；帶有拉格朗日余項的泰勒公式；在近似計算上的應用。
函數的極值與最值：極值判別；最大值與最小值。
函數的凸性與拐點：凸函數與凹函數；嚴格凸函數與嚴格凹函數；拐點。  函數作圖：函數性態討論，函數作圖的一般步驟。
7、實數完備性
實數完備性基本定理：閉區間套與閉區間套定理；聚點與聚點定理；有限覆蓋與有限覆  蓋定理；確界定理；單調有界定理；柯西收斂準則；基本定理的等價性。
閉區間上連續函數整體性質：有界性定理；最大、最小值定理；介值定理；一致連續性  定理。
上極限與下極限：最小聚點與下極限；最大聚點與上極限。
8、不定積分
不定積分概念與基本積分公式：原函數與不定積分；基本積分表；不定積分的線性運算  法則。
換元積分法與分部積分法：第一換元法與第二換元法；分部積分法。
有理函數和可化為有理函數的不定積分：有理函數的部分分式分解方法，有理函數的積  分；幾類可化為有理函數的積分。
9、定積分
定積分的概念：問題的提出；定積分的定義。 牛頓—萊布尼茲公式。
可積條件：可積的必要條件；達布上（下）和；上積分與下積分；可積的充要條件；可  積函數類。
定積分的性質：定積分的基本性質；積分（第一）中值定理。
微積分學基本定理·定積分計算（續）：變限積分與原函數的存在性；積分（第二）中值定理；定積分的換元積分法和分部積分法。
10、定積分的應用
微元法；平面圖形面積計算；已知平行截面面積求體積；平面曲線弧長與曲率；旋轉曲  面的面積；定積分在物理中的某些應用，包括液體靜壓力、引力、功與平均功率等。
11、反常積分
反常積分概念：無窮限反常積分與收斂的定義；無界函數反常積分（瑕積分）與收斂的  定義。
無窮限反常積分的性質與收斂判別：無窮限反常積分的性質；絕對收斂與條件收斂；比  較法則；柯西判別法；狄利克雷判別法；阿貝爾判別法。
瑕積分的性質與收斂判別：瑕積分的性質；絕對收斂與條件收斂；比較法則；柯西判別  法；狄利克雷判別法；阿貝爾判別法。
12、數項級數
級數的斂散性：數項級數的斂散性概念；級數收斂的柯西收斂準則，收斂級數的若干性

質。
正項級數：正項級數收斂性的一般判別原則；比式判別法與根式判別法；積分判別法與
拉貝判別法。
一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法；絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質；阿  貝爾判別法與狄利克雷判別法。
13、函數列與函數項級數
一致收斂性：函數列及其一致收斂性概念與判別法；函數項級數及其一致收斂概念與判  別法。
一致收斂的函數列與函數項級數的性質：連續性；可微（導）性；可積性。
14、冪級數
冪級數：冪級數的收斂半徑、收斂區間與收斂域；冪級數的性質；冪級數和函數的連續  性、可微性、可積性。
函數的冪級數展開：泰勒級數（麥克勞林級數）；幾種常見初等函數的冪級數展開。歐拉公式．
15、傅里葉級數
傅里葉級數：三角函數與正交函數系；傅里葉級數與傅里葉系數；以 2p為周期函數的傅里葉級數；收斂定理；周期延拓；奇延拓與偶延拓；正弦級數與余弦級數。
以 2l 為周期的函數的展開式：以2l 為周期的函數的傅里葉級數；奇函數與偶函數的傅里葉級數。
收斂定理的證明。
16、多元函數極限與連續
平面點集與多元函數：平面點集的基本概念，包括鄰域、內點、外點、界點、聚點、孤  立點、開集、閉集等；平面點集的完備性定理；二元函數的定義；多元函數的定義。
二元函數的極限：二元函數極限概念；二元函數極限計算與存在性判別法；累次極限；  累次極限與重極限的關系。
二元函數的連續性：二元函數連續性概念及其性質；全增量與偏增量；有界閉域上連續  函數的整體性質。
17、多元函數的微分學
可微性：可微性與全微分；偏導數；可微性條件；切平面的定義與可微的幾何意義，全  微分應用與近似計算。
多元復合函數微分法：多元復合函數求導法則；鏈式法則；多元復合函數的全微分與一  階微分的形式不變性。
方向導數與梯度。
泰勒定理與極值問題：高階偏導數；多元函數的中值定理與泰勒公式；極值問題；黑賽
（Hesse）矩陣。
18、隱函數定理及其應用
隱函數：隱函數概念；隱函數存在性與可微性定理；反函數存在定理。
隱函數組：隱函數組定理；反函數組與坐標變換；雅可比（Jacobi）行列式。
隱函數（組）定理的應用：平面曲線的切線與法線；空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線。
條件極值與拉格朗日乘數法。
19、含參量積分
含參量正常積分：含參量正常積分的概念；連續性、可微性與可積性。
含參量反常積分：一致收斂性及其判別法；含參量反常積分的性質（連續性、可微性與

可積性）。
歐拉積分： G 函數及其性質； B 函數及其性質。
20、曲線積分
第一型曲線積分：第一型曲線積分的定義及其性質、計算。 第二型曲線積分：第二型曲線積分的定義及其性質、計算。 兩類曲線積分的聯系。
21、重積分
二重積分概念：平面圖形的面積；二重積分的定義及其存在性；二重積分的性質。  二重積分的計算：二重積分與累次積分；換元積分法（極坐標變換與一般變換）。格林公式；曲線積分與路徑無關性。
三重積分：三重積分的概念；三重積分計算、三重積分與累次積分；三重積分換元積分  法：柱坐標變換，球坐標變換與一般坐標變換。
重積分應用：曲面的面積；重心坐標；轉動慣量。
22、曲面積分
第一型曲面積分：第一型曲面積分的概念與計算。
第二型曲面積分：曲面的側；第二型曲面積分的概念與計算。 高斯公式與斯托克斯公式。
場論初步：場的概念；梯度場；散度場；旋度場。 四、推薦書目：
1、華東師范大學數學系，數學分析.第 4 版[M]，高等教育出版社，2010

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