科目名稱數學分析科目代碼

    考試范圍及要點

    本考試大綱適用于報考南通大學理學院應用數學專業碩士研究生的考生。本科目要求學生比較系統的理解數學分析的基本概念，掌握基數學分析的基本理論，基本思想和方法，具有一定的應用微積分的基本理論與方法解決實際問題的能力，為進一步的學習與科研奠定堅實的基礎。

    本科目的考試范圍及要點：

    一、極限與連續

    1.實數，數集的確界

    2.函數的概念，初等函數

    3.數列極限與函數極限

    4.無窮大與無窮小

    5.函數的連續與一致連續性

    6.實數完備性定理

    要點：1.理解和掌握絕對值不等式，會解絕對值不等式；握函數的概念和表示方法，會求函數的定義域和值域，認識初等函數。

    2.理解和掌握數列與函數極限的概念，會使用、與語言證明數列的極限；掌握極限的基本性質、運算法則，并能運用它們計算極限；會用單調有界原理和夾逼法則證明數列極限的存在，會使用海涅歸結原理證明函數極限不存在；了解無窮小量和無窮大量的概念性質和運算法則,會比較無窮小量與無窮大量的階；掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限；了解單側極限的概念以及求法。

    3.理解與掌握函數連續性、一致連續性的定義以及它們的區別和聯系，會證明具體函數的連續以及一致連續性；理解與掌握函數間斷點的分類；能正確敘述并簡單應用閉區間上連續函數的性質；了解反函數、復合函數以及初等函數的連續性。

    4.理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數集的上、下確界；理解和掌握閉區間上連續函數性質及其證明；能正確敘述實數完備性六大定理的內容及其證明思想，了解上、下極限的概念和性質，會使用開覆蓋以及區間套進行簡單證明。

    二、一元函數微分學

    1.導數的概念與幾何意義

    2.求導公式，求導法則

    3.高階導數

    4.微分

    5.微分中值定理

    6.L’Hospital法則

    7.Taylor公式

    8.應用導數研究函數

    要點：1.能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求具體函數的（高階）導數和微分；理解和掌握可導與可微、可導與連續的概念及其相互關系；掌握左、右導數的概念以及分段函數求導方法。

    2.理解和掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠寫出某些函數的泰勒多項式。

    3.理解和掌握函數的單調性和凹凸性，會使用這些性質求函數的極值點以及拐點；能根據函數的單調性、凹凸性、拐點、漸近線等進行作圖；能熟練地運用洛必達法則求未定式的極限。

    三、一元積分學

    1.不定積分

    2.定積分的概念、性質與計算

    3.定積分的應用

    4.反常積分

    要點：1.理解和掌握原函數和不定積分概念以及它們的關系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數、有理函數、三角函數的不定積分。

    2.理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數類；能熟練運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

    3.理解和掌握"微元法"；掌握定積分的幾何應用；了解定積分的物理應用。

    4.理解和掌握反常積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準則，會判斷某些反常積分的斂散性。

    四、級數

    1.數項級數的斂散性與性質

    2.函數項級數與一致收斂性

    3.冪級數

    要點：1.理解和掌握正項級數的收斂判別法以及交錯級數的萊布尼茲判別法；掌握一般項級數的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解絕對收斂和條件收斂的概念和性質。

    2.理解和掌握一致收斂的概念、性質及其證明；能夠熟練地運用M-判別法判斷一些函數項級數的一致收斂性。

    3.理解和掌握冪級數的概念，會求冪級數的和函數以及它的收斂半徑、收斂區間與收斂域；掌握冪級數的性質以及兩種將函數展開成冪級數的方法，會把一些函數直接或者間接展開成冪級數。

    五、多元微分學

    1.多元函數的極限

    2.多元函數的連續性

    3.偏導數全微分

    4.隱函數定理

    5.方向導數與梯度

    6.多元微分學的幾何應用

    7.多元函數的極值

    要點：1.理解和掌握二元函數的二重極限、累次極限的概念以及它們之間的關系，會計算一些簡單的二元函數的二重極限和累次極限；掌握平面點集內點、聚點與邊界點的概念；認識平面上的開集、閉集、有界集與區域等特殊點集，了解閉區域上多元連續函數的性質。

    2.理解和掌握偏導數、全微分、方向導數與梯度的概念及其計算；掌握多元函數可微、可偏導和連續之間的關系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數的極值與最值，會用Lagrange乘數法求條件極值。

    3.了解隱函數的概念及隱函數存在定理，會求隱函數的導數；了解Jacobi行列式的性質。

    六、多元積分學

    1.二重積分的概念與性質

    2.二重積分的計算

    3.三重積分及其計算

    4.含參變量的正常積分和反常積分

    5.曲線積分與Green公式

    6.曲面積分

    7.Gauss公式與Stokes公式，曲線線積分與路徑無關

    要點：1.理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點，會選擇最合適的方法進行積分；掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計算；了解柱面坐標和球面坐標體積元素的推導。

    2.理解和掌握積分號下求導的方法；掌握函數、函數的性質及其相互關系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

    3.理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質與計算；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區別和聯系；會判斷曲線線積分是否與路徑無關，并能熟練利用曲線線積分與路徑無關的特征進行計算；了解斯托克斯公式，會計算向量場的散度與旋度。

    試題結構：

    試卷分值：150分，其中計算與解答題占70分，證明題占80分

    參考書目名稱編者出版單位版次年份

    數學分析（上、下冊）華東師范大學數學系高等教育出版社第四版2010

    數學分析（上、下冊）陳紀修高等教育出版社第二版2003

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