2021華中農業大學數學分析研究生考試大綱 正文

華中農業大學628數學分析考試大綱
 
一. 試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．
二. 答題方式
答題方式為閉卷、筆試．
三. 試卷題型結構
計算題                    約30分                                   
解答題（包括證明題）      約120分
四. 考查內容
第一部分：實數集與函數，極限，連續
1. 實數集的性質，實數集的上(下)確界。
2. 實數完備性的基本定理。
3. 函數的定義，函數的各種表示方法，基本初等函數的定義、性質及圖像，復合函數、反函數、有界函數、周期函數、奇函數和偶函數、單調函數、初等函數的定義。 
4. 數列和函數極限的定義，數列和函數極限的性質。
5. 數列的單調有界定理，數列和函數收斂的柯西收斂準則，歸結原則。
6. 兩個重要極限及其應用。
7. 無窮小量與無窮大量的概念及其階的比較。
8. 函數連續的概念，函數的間斷點及其分類，復合函數與反函數的連續性。
9. 閉區間上連續函數的性質。
10. 函數的一致連續性的概念及相關結論。
第二部分：一元函數微分學
1. 導數的定義及其幾何意義。
2. 導數的四則運算法則，復合函數的求導法則，由參數方程給出的函數的導數  及反函數的導數。
3. 高階導數。
4. 微分的定義，幾何意義及其應用，連續、可導與可微的關系。
5. 羅爾、拉格朗日和柯西中值定理，泰勒公式。
6. 函數的單調性，不定式的極限，函數的極值與最值，函數的凸性與拐點。
第三部分：一元函數積分學
1. 不定積分的概念與運算法則，基本積分公式。
2. 不定積分的換元積分法，分部積分法，有理函數與可化為有理函數的不定積分；
3. 定積分的概念，可積性條件，定積分的性質。
4. 牛頓-萊布尼茲公式，微積分學基本定理。
5. 定積分的計算。
6. 應用定積分求平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長、旋轉曲面的面積；應用定積分解決一些物理問題。
7. 無窮積分及其收斂的概念，無窮積分的計算，無窮積分收斂的判別法則。
8. 瑕積分及其收斂的概念，瑕積分的計算，瑕積分收斂的判別法則。
     第四部分：級數
1. 數項級數收斂的定義，應用定義求某些數項級數的和。
2. 正項級數收斂的判別法。
3. 交錯級數收斂的判別法，絕對收斂和條件收斂級數的概念，一般項級數的阿貝爾和狄利克雷判別法。
4. 函數列和函數項級數的收斂和一致收斂的概念，函數列和函數項級數一致收斂的判別法。
5. 一致收斂函數列和函數項級數的連續性、可微性和可積性。
6. 冪級數收斂域的求法，利用冪級數的連續、可微和可積性求冪級數的和。
7. 函數的冪級數展開的條件，初等函數冪級數展開的方法。
8. 三角函數系，周期函數的傅里葉系數，傅里葉級數的收斂定理，將函數展為傅里葉級數。
9. 將函數展開為正弦級數與余弦級數。
第五部分：多元函數的極限、連續和微分學
1. 平面點集和多元函數的概念。
2. 二重極限和二次極限的概念及其關系。
3. 二元函數連續性的概念，有界閉區域上連續函數的性質。
4. 多元函數偏導數與全微分的概念，多元函數可微的必要和充分條件，可微性 的幾何意義及應用。
5. 復合函數偏導數的計算，方向導數與梯度。
6. 高階偏導數，二元函數的中值定義與泰勒公式。
7. 多元函數極值的充分和必要條件，多元函數的極值。
8. 隱函數和隱函數組的概念，隱函數定理，隱函數組定理，隱函數的求導。
9. 空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與發線。
10. 條件極值的求法。
第六部分：含參變量積分
1. 含參變量正常積分的概念，含參變量正常積分的性質。
2. 含參變量正常積分的計算。
3. 含參變量反常積分的概念，含參變量反常積分一致收斂的概念及其判別法；含參變量反常積分的性質。
4. 含參變量反常積分的計算。
第七部分：曲線積分、重積分和曲面積分
1. 第一型曲線積分的概念和計算。
2. 第二型曲線積分的概念和計算。
3. 二重積分的概念和性質，直角坐標下二重積分的計算。
4. 格林公式，曲線積分與路徑的無關性。
5. 二重積分的變量變換公式和計算，用極坐標計算二重積分。
6. 三重積分的概念，直角坐標下三重積分的計算，用柱面坐標和球坐標計算三重積分。
7. 第一型曲面積分的概念和計算。
8. 第二型曲面積分的概念和計算。
9. 高斯公式與斯托克斯公式。
 
參考教材:
1．數學分析，第四版，上冊，華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2010.
2．數學分析，第四版，下冊，華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2010.

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