2021河南工業大學高等代數專業研究生考試大綱 正文

一、要求和知識點
1. 一元多項式
（1）考試要求
.理解數域的概念。
.掌握一元多項式的運算規律，掌握整除的概念和性質，并會運用帶余除法。
.掌握輾轉相除法，并會求最大公因式，掌握互素的概念和性質。
.掌握不可約多項式的概念和性質，理解因式分解定理。
.掌握重因式的概念和判別。
.理解多項式函數概念，掌握余數定理。
.掌握實系數、復系數和有理系數多項式的因式分解及判別法。
（2）知識點
一元多項式，因式分解，整除，有理系數多項式，最大公因式，重因式等
2. 行列式和矩陣
（1）考試要求
.理解行列式的概念和性質。
.掌握常見行列式的計算方法。
.理解矩陣的概念、掌握單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、對稱矩陣及其性質。
.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置、方陣的冪與方陣的乘積的行列式以及它們的運算規則，并會進行計算。
.掌握矩陣的初等變換，初等矩陣的概念，并會用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣。
.掌握逆矩陣的概念及性質，以及矩陣可逆的條件，掌握利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法。
.熟悉分塊矩陣及其運算。
（2）知識點
行列式的概念和性質，行列式的計算，矩陣的概念、矩陣的加、減、乘等運算，數量矩陣，矩陣的轉置，矩陣乘積的行列式與秩，逆矩陣，矩陣的分塊，初等矩陣，矩陣的等價，分塊矩陣乘法的初等變換。
3. 向量組的線性相關性
（1）考試要求
.理解維向量空間，向量的線性組合與線性表示的概念。
.理解線性相關、線性無關的定義，并會應用向量組線性相關，無關的有關性質及判別法。
.理解向量組的極大無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大無關組及秩。
.理解向量組等價的概念。
.理解矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。
（2）知識點
線性組合，線性相關，線性無關，向量組和矩陣的秩。
4. 線性方程組
（1）考試要求
.了解消元法求解線性方程組。
.理解齊次和非齊次線性方程組的解的特點。
.掌握判定線性方程組解的情況的方法。
.理解線性方程組解的結構。
（2）知識點
消元法,向量空間，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構，基礎解系。
5. 二次型
（1）考試要求
.掌握二次型及其矩陣表示，理解二次型秩的概念。
.掌握合同變換和合同矩陣的概念，理解二次型的標準形，規范形的概念，了解慣性定性及規范形的唯一性。
.掌握配方法和正交變換法化二次型為標準形的方法。
.掌握正定二次型和正定矩陣的概念及判別。
（2）知識點
線性替換，n元二次型，標準形，二次型的矩陣，規范形，慣性定理，正定二次型。
6. 線性空間
（1）考試要求
.掌握線性空間定義與性質。
.掌握線性空間的維數，基與坐標的概念和求法。
.理解基變換與坐標變換的概念，會求過渡矩陣。
.理解子空間的概念，掌握子空間的性質及生成的條件。
.掌握兩個子空間的交與和的概念及性質。
.了解線性空間的同構的概念。
（2）知識點
線性空間的定義與簡單性質，維數，基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，線性空間的同構。
7. 線性變換
（1）考試要求
.理解線性變換的定義和運算。
.掌握線性變換的矩陣求法。
.掌握線性變換或矩陣的特征值與特征向量。
.掌握矩陣的相似對角化問題。
.理解線性變換的值域與核。
.掌握不變子空間的概念和證明方法。
（2）知識點
線性變換的定義，運算，矩陣，線性變換的值域，核，線性變換的矩陣在某組基下的矩陣是對角矩陣的條件，不變子空間。
8. -矩陣
（1）考試要求
.了解多項式矩陣與矩陣多項式的關系，-矩陣等價與矩陣相似的關系。
.掌握行列式因子、不變因子、初等因子的概念與計算。
.掌握行列式因子與標準型的對應，初等因子組與Jordan標準形的對應。
.掌握-矩陣可逆的定義與判別條件.會計算-矩陣的標準形，復系數矩陣的Jordan標準形。
（2）知識點
-矩陣的相關概念、等價以及判定；行列式因子、不變因子、初等因子的相關概念與應用；-矩陣的標準形與Jordan標準形。
9. 歐氏空間
（1）考試要求
.理解歐氏空間的定義及性質。
.理解標準正交基的定義及判別方法。
.理解子空間的定義和正交補的求法。
.掌握正交變換和對稱變換的判別條件。
（2）知識點
歐氏空間的概念，標準正交基，子空間，正交變換，對稱變換。
二、教材及其參考書
[1] 《高等代數》北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編，王萼芳 石生明 修訂，高等教育出版社，出版年2003.
[2]《高等代數》王萼芳 編．高等教育出版社，出版年2009.
[3]《高等代數選講》，張同斌，萬建軍主編，合肥工業大學出版社，2009

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